iの累乗とeの累乗の関係
定理
自然定数 $e$と虚数 $i$の累乗は以下の関係を満たします。
$$ e^{i\frac{l \pi}{2}} = i^{l} $$
証明
$e^{ i \frac{l \pi}{2}}=\cos\frac{l \pi}{2}+i\sin \frac{l \pi}{2}$であるため、$l=0$時、
$$ e^{ 0}= 1 =i^{0} $$
$l=1$時、
$$ e^{ i \frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}=i=i^{1} $$
$l=2$時、
$$ e^{ i \pi}=\cos \pi+i\sin \pi=-1=i^{2} $$
$l=3$時、
$$ e^{ i \frac{3\pi}{2}}=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}=-i=i^{3} $$
その後繰り返すため、
$$ e^{ i \frac{l \pi}{2}}=i^l $$
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