平方根
定義
数 $x$ に対して、$r^{2} = x$ を満たす数 $r$ を $x$の平方根$x$の平方根と呼ぶ。
$$ \text{$r$ is a square root of $x$} \iff r^{2} = x $$
説明
正の $x \gt 0$ に対して、$x$ の平方根としては 絶対値 が等しく符号が逆の二つの数 $r \gt 0$ と $-r$ が存在する。このとき正の $r$ を $x$ の 正の平方根 と呼び、次のように表す。
$$ r = \sqrt{x} $$
$-r = -\sqrt{x}$ を $x$ の 負の平方根 とする。
記号 $\sqrt{\ }$ 自体は 根号根号 といい、$\sqrt{x}$ は『平方根 x』と読む。平方根を初めて学ぶときに最も難しい点は、やはり「$x$の平方根」と「平方根 $x$」を区別することだ。$x$の平方根は上の定義に従って二乗して $x$ になるすべての数を指す。つまり $r^{2} = x$ を満たすすべての数をいう。これに対して平方根 $x$ は $\sqrt{x}$ を読んだものなので $x$ の正の平方根を意味する。したがって $x \gt 0$ に対して平方根 $x$($=\sqrt{x}$) は常に正である。
$$ \text{$x$の平方根} = \left{ r : r^{2} = x \right} = \left{ \sqrt{x}, -\sqrt{x} \right} $$
$$ \text{平方根 $x$} = \sqrt{x} ( \gt 0 ) $$
性質
$a, b \gt 0$ について次の性質が成り立つ。
(a) $\sqrt{a \pm b} \ne \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ $(a \gt b)$
(b) $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$
(b') $p\sqrt{a} \times q\sqrt{b} = pq \sqrt{a b}$
(c) $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$
証明
(b)
$\sqrt{a} \sqrt{b}$ を二乗すると、
$$ ( \sqrt{a} \sqrt{b} )^{2} = ( \sqrt{a} )^{2} ( \sqrt{b} )^{2} = a b $$
これは $\sqrt{a}\sqrt{b}$ が $ab$ の正の平方根であることを意味する。したがって $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ である。
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$0$と負の平方根
$\sqrt{0}$ を $0$ と定義する。
二乗して負になる数は実数には存在しない。負の平方根について述べるには数体系を 複素数 まで拡張する必要がある。平方根 $-1$、すなわち $\sqrt{-1}$ を複素数 $i$ と定義する。
$$ \sqrt{-1} := i $$
前述の注意点に従い、『$-1$の平方根』は $\left\{ i, -i \right\}$ として二つあるが、『平方根 $-1$』$(=\sqrt{-1})$ はただ $i$ を意味する。正の $x \gt 0$ に対して、$-x$ の平方根を以下のように定義する。
$$ \sqrt{-x} := i \sqrt{x} $$
負の数に対する平方根についても上の性質が成り立つことは容易に確認できる。