📂幾何学

幾何学におけるオイラー指数

定義

簡単な定義

任意の図形が一つ与えられたとしよう。点の数を$V$^vertex、辺の数を$E$^edge、面の数を$F$^faceとする。この図形のオイラー指標^{Euler characteristic}$\chi$を次のように定義する。

$\chi := V - E + F$

難しい定義¹

曲面$M$の領域$\mathscr{R}$に対して、ガウス-ボンネの定理を満たす$\chi(\mathscr{R}) \in \mathbb{Z}$を$\mathscr{R}$のオイラー指標という。

$$ \sum_{i=1}^{n} \int_{C_{i}}K_{g}ds + \iint_{R} K dA + \sum\theta_{i} = 2\pi \chi(\mathscr{R}) $$

参照

グラフ理論でのオイラーの公式

元々オイラー指標はグラフ理論で最も有名で、オイラーの多面体定理またはオイラー式は連結平面グラフに対して$\chi = 2$というグラフ理論の定理だ。

幾何学でのオイラー指標

ガウス-ボンネの定理の方程式を満たす整数として定義される。

代数位相幾何学でのオイラー指標

各次元のベッチ数の交代和として定義される。