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ガウス・ボーネの定理 📂幾何学

ガウス・ボーネの定理

ガウス・ボンネの定理

x:U→R3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}を単連結な測地線座標切片写像、γ(I)⊂x(U)\boldsymbol{\gamma}(I) \subset \mathbf{x}(U)であるγ\boldsymbol{\gamma}を区間ごとに正則曲線としよう。そして、γ\boldsymbol{\gamma}がある領域R\mathscr{R}を囲むとする。すると、以下が成立する。

∬RKdA+∫γκgds+∑αi=2π \iint_{\mathscr{R}} K dA + \int_{\boldsymbol{\gamma}} \kappa_{g} ds + \sum \alpha_{i} = 2\pi

ここでKKはガウス曲率、κg\kappa_{g}は測地曲率、αi\alpha_{i}はγ\boldsymbol{\gamma}の区間と区間の間の接する点juntion pointでの角度差jump anglesである。

説明

γ\boldsymbol{\gamma}を区間ごとに正則な曲線と仮定したので、タンジェントの方向が突然大きく変わる点があるが、その場所での角度差をαi\alpha_{i}とした。γ\boldsymbol{\gamma}が全体的に滑らかにつながる曲線なら、角度がジャンプする場所はないので、αi\alpha_{i}は00である。(図(が))

上の定理はx\mathbf{x}を測地線座標切片写像という強い条件を置いたときの結果である。より一般的な結果では、式にオイラー指標が登場し、次のようである。

∬RKdA+∫Ciκgds+∑αi=2πχ(R) \iint_{\mathscr{R}} K dA + \int_{C_{i}}\kappa_{g}ds + \sum\alpha_{i} = 2\pi \chi(\mathscr{R})

証明

x\mathbf{x}が測地線座標切片写像であるので、第1基本形式の係数を次のようにしよう。

[gij]=[100h2] \left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & h^{2} \end{bmatrix}

そして、γ(t)=x(γ1(t),γ2(t))\boldsymbol{\gamma}(t) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t) \right)としよう。今、x1\mathbf{x}_{1}とγ\boldsymbol{\gamma}のタンジェントT=γ′T = \boldsymbol{\gamma}^{\prime}間の角度をα\alphaとしよう。

α(t):=∠(x1,T) \alpha (t) := \angle ( \mathbf{x}_{1}, T)

私たちは、γ\boldsymbol{\gamma}がパスに沿って一周するとき、x1\mathbf{x}_{1}を基準にしたときのTTの角度変化が2π2 \piであることを利用して、定理を証明するだろう。まず、γ\boldsymbol{\gamma}を単位速度曲線と仮定しよう。そして、PPを次を満たすγ\boldsymbol{\gamma}に沿った平行なベクトル場としよう。(上の図(な)参照)

P(t)=parallel vector field starting from a juction point s.t. P×T∥P×T∥=n P(t) = \text{parallel vector field starting from a juction point s.t. } \dfrac{P \times T}{\left\| P \times T \right\|} = \mathbf{n}

そして、ϕ\phiとθ\thetaをそれぞれx1\mathbf{x_{1}}とPPおよびPPとTT間の角度としよう。

ϕ(t)=∠(x1,P),θ(t)=∠(P,T) \phi (t) = \angle(\mathbf{x}_{1}, P),\quad \theta (t) = \angle(P, T)

言い換えると、⟨x1,P(t)⟩=cos⁡ϕ(t)\left\langle \mathbf{x}_{1}, P(t) \right\rangle = \cos\phi (t)であり、これを微分すると、

−sin⁡ϕ(t)dϕdt(t)=⟨dx1(γ1(t),γ2(t))dt,P(t)⟩+⟨x1,dPdt(t)⟩ -\sin \phi (t) \dfrac{d \phi}{d t}(t) = \left\langle \dfrac{d \mathbf{x}_{1}(\gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t))}{d t}, P(t) \right\rangle + \left\langle \mathbf{x}_{1}, \dfrac{d P}{d t}(t) \right\rangle

この時、PPがγ\gammaに沿って平行なベクトル場であるため、dPdt\dfrac{dP}{dt}は定義によりMMと垂直である。x1\mathbf{x}_{1}はMMと接するので、後ろの項は00である。さらに計算すると、

−sin⁡ϕ(t)dϕdt(t)=⟨dx1(γ1(t),γ2(t))dt,P(t)⟩=[x11(γ1(t),γ2(t))(γ1)′(t)+x12(γ1(t),γ2(t))(γ2)′(t)]⋅P(t)=[(L11n+Γ111x1+Γ112x2)(γ1)′(t)+(L12n+Γ121x1+Γ122x2)(γ2)′(t)]⋅P(t)=[(Γ111x1+Γ112x2)(γ1)′(t)+(Γ121x1+Γ122x2)(γ2)′(t)]⋅P(t) \begin{align*} &\quad -\sin \phi (t) \dfrac{d \phi}{d t}(t) \\ &= \left\langle \dfrac{d \mathbf{x}_{1}(\gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t))}{d t}, P(t) \right\rangle \\ &= \Big[ \mathbf{x}_{11}(\gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t)) (\gamma^{1})^{\prime}(t) + \mathbf{x}_{12}(\gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t)) (\gamma^{2})^{\prime}(t) \Big] \cdot P(t) \\ &= \Big[ \left( L_{11}\mathbf{n} + \Gamma_{11}^{1}\mathbf{x}_{1} + \Gamma_{11}^{2}\mathbf{x}_{2} \right)(\gamma^{1})^{\prime}(t) + \left( L_{12}\mathbf{n} + \Gamma_{12}^{1}\mathbf{x}_{1} + \Gamma_{12}^{2}\mathbf{x}_{2} \right)(\gamma^{2})^{\prime}(t) \Big] \cdot P(t) \\ &= \Big[ \left(\Gamma_{11}^{1}\mathbf{x}_{1} + \Gamma_{11}^{2}\mathbf{x}_{2} \right)(\gamma^{1})^{\prime}(t) + \left(\Gamma_{12}^{1}\mathbf{x}_{1} + \Gamma_{12}^{2}\mathbf{x}_{2} \right)(\gamma^{2})^{\prime}(t) \Big] \cdot P(t) \end{align*}

二番目の等号は連鎖律により、三番目の等号は第2基本形式とクリストッフェル記号の定義によって成立する。四番目の等号は、PPとn\mathbf{n}が互いに垂直であるために成立する。

測地線座標切片写像のクリストッフェル記号

下のもの以外はすべて00である。

Γ221=−hh1,Γ122=Γ212=h1h,Γ222=h2h \Gamma_{22}^{1} = -hh_{1},\quad \Gamma_{12}^{2} = \Gamma_{21}^{2} = \dfrac{h_{1}}{h},\quad \Gamma_{22}^{2} = \dfrac{h_{2}}{h}

これで、00になる項をすべて整理すると、以下のようになる。

−sin⁡ϕ(t)ϕ′(t)=⟨h1h(γ2)′(t)x2,P(t)⟩=h1h(γ2)′(t)⟨x2,P(t)⟩(1) -\sin\phi (t) \phi^{\prime}(t) = \left\langle \dfrac{h_{1}}{h}(\gamma^{2})^{\prime}(t)\mathbf{x}_{2}, P(t) \right\rangle = \dfrac{h_{1}}{h}(\gamma^{2})^{\prime}(t) \left\langle \mathbf{x}_{2}, P(t) \right\rangle\tag{1}

g11=⟨x1,x1⟩=1g_{11} = \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle = 1であるため、x1\mathbf{x}_{1}は単位ベクトルであり、g12=⟨x1,x2⟩=0g_{12} = \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle = 0であるため、x1⊥x2\mathbf{x}_{1} \perp \mathbf{x}_{2}である。したがって、{x1,x2∥x2∥}\left\{ \mathbf{x}_{1}, \dfrac{\mathbf{x}_{2}}{\left\| \mathbf{x}_{2} \right\|} \right\}はタンジェント平面の正規直交基底となる。従って、タンジェント平面の要素PPは、以下のように表される。

P=⟨x1,P⟩x1+⟨x2∥x2∥,P⟩x2∥x2∥=cos⁡ϕx1+sin⁡ϕx2h P = \left\langle \mathbf{x}_{1}, P \right\rangle\mathbf{x}_{1} + \left\langle \dfrac{\mathbf{x}_{2}}{\left\| \mathbf{x}_{2} \right\|}, P \right\rangle \dfrac{\mathbf{x}_{2}}{\left\| \mathbf{x}_{2} \right\|} = \cos\phi \mathbf{x}_{1} + \sin\phi \dfrac{\mathbf{x}_{2}}{h}

また、⟨x2,P⟩=∥x2∥2sin⁡ϕh=hsin⁡ϕ\left\langle \mathbf{x}_{2}, P \right\rangle = \left\| x_{2} \right\|^{2} \dfrac{\sin \phi}{h} = h\sin \phiを(1)(1)に代入すると、

ϕ′(t)=−h1(γ2)′(t) \phi^{\prime}(t) = -h_{1}(\gamma^{2})^{\prime}(t)

したがって、ϕ\phiの全角変動は

δϕ=∫γϕ′dt=−∫γh1(γ2)′(t)dt=−∫γh1dγ2=−∫γh1du2(2) \delta \phi = \int_{\boldsymbol{\gamma}} \phi^{\prime} dt = - \int_{\boldsymbol{\gamma}}h_{1}(\gamma^{2})^{\prime}(t)dt = - \int_{\boldsymbol{\gamma}}h_{1} d\gamma^{2} = - \int_{\boldsymbol{\gamma}}h_{1} du^{2} \tag{2}

さらに、以下の式が成立することを示す。

Claim: θ′=kg \text{Claim: } \theta^{\prime} = k_{g}

θ(t)=∠(P,T)\theta (t) = \angle(P, T)としたので、cos⁡θ(t)=⟨P,T⟩\cos\theta (t) = \left\langle P, T \right\rangleであり、これを微分すると、

−sin⁡θ(t)θ′(t)=⟨dPdt,T⟩+⟨P,dTdt⟩=⟨P,T′⟩ -\sin\theta (t)\theta^{\prime}(t) = \left\langle \dfrac{d P}{d t}, T \right\rangle + \left\langle P, \dfrac{d T}{d t} \right\rangle = \left\langle P, T^{\prime} \right\rangle

二番目の等号は、dP/dtdP/dtがn\mathbf{n}と平行であるために成立する。測地曲率の定義により、示したいものを以下のように得る。

κg=⟨S,T′⟩=⟨(n×T),T′⟩=⟨n,(T×T′)⟩=⟨P×Tsin⁡θ,(T×T′)⟩∵P×T∥P×T∥=n=⟨1sin⁡θP,(T×(T×T′))⟩=⟨1sin⁡θP,−T′⟩=θ′(t) \begin{align*} \kappa_{g} = \left\langle \mathbf{S}, T^{\prime} \right\rangle &= \left\langle (\mathbf{n} \times T), T^{\prime} \right\rangle \\ &= \left\langle \mathbf{n}, (T \times T^{\prime}) \right\rangle \\ &= \left\langle \dfrac{P \times T}{\sin \theta}, (T\times T^{\prime}) \right\rangle & \because \dfrac{P \times T}{\left\| P \times T \right\|} = \mathbf{n} \\ &= \left\langle \dfrac{1}{\sin\theta} P, (T\times (T\times T^{\prime})) \right\rangle \\ &= \left\langle \dfrac{1}{\sin\theta} P, -T^{\prime} \right\rangle \\ &= \theta^{\prime}(t) \end{align*}

三番目、五番目の等号はスカラー三重積が交換可能であるために成立する。したがって、以下を得る。

δθ=∫γθ′dt=∫γkgdt(3) \delta \theta = \int_{\boldsymbol{\gamma}} \theta^{\prime} dt = \int_{\boldsymbol{\gamma}} k_{g}dt \tag{3}

α=ϕ+θ\alpha = \phi + \thetaであるため、

∫γα′dt=∫γϕ′dt+∫γθ′dt \int_{\boldsymbol{\gamma}} \alpha^{\prime}dt = \int_{\boldsymbol{\gamma}} \phi^{\prime}dt + \int_{\boldsymbol{\gamma}} \theta^{\prime}dt

(2)(2)と(3)(3)により、以下を得る。

∫γα′dt+∑iαi=−∫γh1du2+∫γkgdt+∑iαi \int_{\boldsymbol{\gamma}} \alpha^{\prime}dt + \sum_{i}\alpha_{i} = - \int_{\boldsymbol{\gamma}}h_{1} du^{2} + \int_{\boldsymbol{\gamma}} k_{g}dt + \sum_{i}\alpha_{i}

γ\boldsymbol{\gamma}はR\mathscr{R}を囲むため、上の式の左辺は明らかに一周したときの角度変化、すなわち2π2 \piである。

−∫γh1du2+∫γkgdt+∑iαi=2π {} - \int_{\boldsymbol{\gamma}}h_{1} du^{2} + \int_{\boldsymbol{\gamma}} k_{g}dt + \sum_{i}\alpha_{i} = 2 \pi

グリーンの定理

∮∂RPdx=−∬RPydydx \oint_{\partial \mathscr{R}} Pdx = - \iint_{\mathscr{R}} P_{y} dy dx

測地線座標切片写像のガウス曲率

K=−h11h K = -\dfrac{h_{11}}{h}

曲面の面積要素

dA=gdu1du2 dA = \sqrt{g} du^{1} du^{2}

左辺の最初の項は、グリーンの定理を利用すると、以下のように変更できる。

−∫γh1du2=−∬Rh11du1du2=−∬Rh11hhdu1du2=−∬Rh11hgdu1du2=∬RKdA \begin{align*} {} - \int_{\boldsymbol{\gamma}}h_{1} du^{2} &= - \iint_{\mathscr{R}}h_{11} du^{1}du^{2} \\ &= - \iint_{\mathscr{R}}\dfrac{h_{11}}{h} h du^{1}du^{2} \\ &= - \iint_{\mathscr{R}}\dfrac{h_{11}}{h} \sqrt{g} du^{1}du^{2} \\ &= \iint_{\mathscr{R}} K dA \end{align*}

最後に、以下の結論を得る。

∬RKdA+∫γκgds+∑αi=2π \iint_{R} K dA + \int_{\gamma} \kappa_{g} ds + \sum \alpha_{i} = 2\pi