📂幾何学

微分幾何学における零ホモトピー

定義¹

閉曲線 $\gamma$が曲面 $M$上の領域 $\mathscr{R}$を囲むとしよう。$\sigma$を$\mathscr{R}$上に置かれた周期が$L$の閉曲線または$\gamma$とする。そして$\sigma (0) = x_{0}$とする。$s \in [0,1]$に対して次を満たす閉曲線$\sigma_{s}$が曲面$M$上に存在する場合、$\sigma$をヌル・ホモトピック^{null-homotopic}という。

• $\sigma_{s}(0) = x_{0}$
• $\sigma_{0}(t) = \sigma (t)$そして$\sigma_{1}(t) = x_{0}$
• $\sigma_{s}(t) \in \mathscr{R} \quad \forall s\in [0,1], t\in(0, L)$
• 次の関数$\Gamma$が連続である。 $$ \Gamma : [0,1] \times [0, L] \to M \text{ given by } \Gamma (s,t) = \sigma_{s}(t) $$

説明

言い換えると、$\sigma$がヌル・ホモトピックであるとは、$\sigma$が$\mathscr{R}$上で連続的に変化して一点$x_{0}$に収縮できるということだ。