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n次元ラドン変換

定義¹

$s \in \mathbb{R}^{1}$、$\boldsymbol{\theta} \in S^{n-1}$に対して、ラドン変換 $\mathcal{R} : L^{2}(\mathbb{R}^{n}) \to L^{2}(Z_{n})$を次のように定義する。

$$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta}) = \int\limits_{\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta} = s} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x}$$

ここで、$Z_{n} := \mathbb{R}^{1} \times S^{n-1}$は$n+1$次元のユニットシリンダーである。

説明

$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta})$の幾何学的意味は、$f$を原点から$s$だけ離れ、$\boldsymbol{\theta}$に垂直な全ての点で積分することである。

$$\mathbf{x} \cdot (-\boldsymbol{\theta}) = -s \iff \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta} = s\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$$

上記の式が成り立つので、ラドン変換は偶関数である。

$$\mathcal{R}f(-s, -\boldsymbol{\theta}) = \mathcal{R}f(s, \boldsymbol{\theta})$$

別の表現

固定された$\boldsymbol{\theta}$に対して、

$$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta}) = \mathcal{R}_{\boldsymbol{\theta}}f (s)$$

$\boldsymbol{\theta} ^{\perp} := \left\{ \mathbf{u} : \mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0 \right\}$とする。それならば、

$$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta}) = \int\limits_{\boldsymbol{\theta}^{\perp}} f( s \boldsymbol{\theta} + \mathbf{u}) d \mathbf{u}$$

ディラックのデルタ関数 $\delta$について、

$$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta}) = \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} f( \mathbf{x} ) \delta ( \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta} - s) d \mathbf{x}$$

定理

$f \in L^{1}(\mathbb{R})$とする。すると$\mathcal{R}_{\boldsymbol{\theta}}f(s) \in L^{1}(\mathbb{R})$であり、次が成り立つ。

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathcal{R}_{\boldsymbol{\theta}}f(s) ds = \int\limits_{\mathbb{R}^{n}}f(\mathbf{x})d \mathbf{x}$$

証明

$\mathcal{R}_{\boldsymbol{\theta}}f(s)$は原点から$t$だけ離れ、$\boldsymbol{\theta}$に垂直な平面で$f$を積分したものである。これを全ての$s \in \mathbb{R}$に対して積分すると、$f$を$\mathbb{R}^{n}$の全ての点で積分したものと同じである。したがって、

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathcal{R}_{\boldsymbol{\theta}}f(s) ds = \int\limits_{\mathbb{R}^{n}}f(\mathbf{x})d \mathbf{x} \lt \infty$$

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