📂ベクトル分析

n次元極座標

定義¹

点$x \in \mathbb{R}^{n}$のデカルト座標を$x_{1}, \dots, x_{n}$とする。すると、この点の極座標$r, \varphi_{1}, \dots, \varphi_{n-1}$との関係は以下の通りだ。

$$ \begin{align*} x_{n} &= r \cos \varphi_{1} \\ x_{n-1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \\ x_{n-2} &= r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} \\ \vdots& \\ x_{4} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-3} \sin \varphi_{n-2} \\ x_{3} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-3} \cos \varphi_{n-2} \\ x_{2} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} \\ x_{1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} \\ \end{align*} $$

ここで、

$$ 0 \le \varphi_{i} \le \pi \ (1 \le i \le n-2), \quad 0 \le \varphi_{n-1} \le 2\pi $$

説明

上に挙げた式は混乱するかもしれないが、まず$x_{n}$を$r\cos\varphi_{1}$として、残りは下から$x_{1}, x_{2}, \dots$の式に従って値を設定すればいい。詳細は以下の例を参照。例では、二次元の場合は極座標、三次元の場合は球座標と説明しているが、必ずそう呼ぶ必要はない。物理学では一般的に$n$次元を超えて扱うことはないので、この区別が重要で、実際にそれぞれが二次元、三次元を意味する。しかし、数学では、極座標や球座標という名前が次元によって限定される感じはずっと少ない。どう使うかは好みの問題のようだ。

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$n=2$

このケースを特に極座標と呼び、一般に$\theta = \varphi_{1}$で示される。すると$x_{2}$は

$$ x_{2} = x_{n} = r \cos \varphi_{1} = r \cos \theta $$

$x_{1}$は、$n=2$を代入すると、

$$ x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} = r \sin \theta $$

したがって、

$$ \begin{align*} x_{2} &= y = r \cos \theta \\ x_{1} &= x = r \sin \theta \\ \end{align*} $$

$$ \left| \mathbf{x} \right| = r^{2} \cos^{2}\theta + r^{2} \sin^{2}\theta = r^{2} = \left| \mathbf{r} \right| $$

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$n=3$

この場合は特に球座標と呼び、一般に$\theta = \varphi_{1}$、$\phi = \varphi_{2}$で表される。$x_{3}$は、

$$ x_{3} = x_{n} = r \cos \varphi_{1} = r \cos \theta $$

$x_{2}$は、$n=3$を代入すると、

$$ x_{2} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} = r \sin \theta \sin \varphi $$

$x_{1}$は、$n=3$を代入すると、

$$ x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} = r \sin \theta \cos \varphi $$

したがって、

$$ \begin{align*} x_{3} &= z= r \cos \theta \\ x_{2} &= y= r \sin \theta \sin \varphi \\ x_{1} &= x= r \sin \theta \cos \varphi \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \left| \mathbf{x} \right| = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} &= r^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + r^{2}\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi + r^{2}\cos^{2}\theta \\ &= r^{2}\sin^{2}\theta + r^{2}\cos^{2}\theta \\ &= r^{2} \\ &= \left| \mathbf{r} \right| \end{align*} $$

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$n=4$

$n=4$までやってみよう。$x_{4}$は、

$$ x_{4} = x_{n} = r \cos \varphi_{1} $$

$x_{3}$は、$n=4$を代入すると、

$$ x_{3} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-3} \cos \varphi_{n-2} = r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} $$

$x_{2}$は、$n=4$を代入すると、

$$ x_{2} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} $$

$x_{1}$は、$n=4$を代入すると、

$$ x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3} $$

したがって、

$$ \begin{align*} x_{4} &= r \cos \varphi_{1} \\ x_{3} &= r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} \\ x_{2} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} \\ x_{1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \left| \mathbf{x} \right| &= x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} \\ &= (r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3}) + r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3}\\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2} \cos^{2} \varphi_{3}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2} \sin^{2} \varphi_{3}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \cos^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \cos^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= r^{2} \\ &= \left| \mathbf{r} \right| \end{align*} $$

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$x \ne 0$について、次を得る。

$$ \boldsymbol{\theta} = \dfrac{x}{\left| x \right|} \in S^{n-1}, \quad x = r\boldsymbol{\theta},\quad r = \left| x \right| > 0 $$

この表現で、$\boldsymbol{\theta}$は角度ではないことに注意。デカルト座標$\theta_{1}, \dots, \theta_{n}$は、次の式で表される。

$$ \cos \varphi_{k-1} = \dfrac{\theta_{k}}{r_{k}}, \quad \sin \varphi_{k-1} = \frac{r_{k-1}}{r_{k-2}},\quad r_{k} = \left( \theta_{1}^{2}, \dots, \theta_{k}^{2} \right)^{1/2} $$

さらに、$\mathbb{R}^{n} \setminus \left\{ 0 \right\}$から$\mathbb{R}_{+} \times S^{n-1}$への写像$x \mapsto (r, \boldsymbol{\theta})$は、連続かつ全単射である。

性質

以下の積分が成立する。$f \in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$に対して、

$$ \int_{\mathbb{R}^{x}} f(x) dx = \int\limits_{S^{n-1}} \int\limits_{0}^{\infty} f(r \boldsymbol{\theta}) r ^{n-1}dr d\boldsymbol{\theta} $$