📂幾何学

ガウス曲率

定義¹

曲面の点$M$を$p$の法線ベクトルにマッピングする関数

$$\nu : M \to S^{2} \text{ with } \nu (p) \text{ normal to } M \text{ at } p$$

すべての点で連続であれば、$M$を向き付け可能な曲面という。

説明

$\nu$をガウス写像という。

例

球体 $S^{2}$

$\nu (p)$が$p$の外向き法線ベクトルとすると、$\nu (p) = p$なので連続である。したがって球体$S^{2}$は向き付け可能な曲面である。

トーラス $T^{2}$

向き付け可能な曲面である。

メビウスの帯

メビウスの帯は向き付け可能な曲面ではない。

定理

$\mathbb{R}^{3}$のすべてのコンパクト曲面は向き付け可能である。