曲率が0の回転面
📂幾何学曲率が0の回転面
定理
Mを回転面のαの単位速度曲線、ガウス曲率がK=0とする。すると、Mは以下のいずれかを満たす。
- シリンダーの一部である。
- 平面の一部である。
- コーンの一部である。
さらに、これらの曲面は局所的に等距離である。
証明
回転面のガウス曲率をK=0とする。回転面の曲率がK=−rr′′なので、それによりr′′=0となる。したがって、
r′′(s)=0⟹r′(s)=a⟹r(s)=as+b
z′=±1−(r′)2より、
z′=±1−(r′)2=±1−a2
⟹z=±1−a2s+d=cs+d
したがって、曲線α=(r,z)は次のようになる。
α(s)=(r(s),z(s))=(as+b,cs+d),a,b,c,d∈R
もしa=0ならば、α(s)=(b,cs+d)であり、結果として得られる回転面は円筒の一部である。
もしc=0ならば、α(s)=(as+b,d)は平面であり、結果として得られる回転面は平面の一部である。
もしa=0,c=0ならば、α(s)=(as+b,cs+d)であり、この直線はr軸にもz軸にも平行ではない。結果として得られる回転面はコーンの一部である。
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