📂幾何学

曲率が0の回転面

定理¹

$M$を回転面の$\boldsymbol{\alpha}$の単位速度曲線、ガウス曲率が$K=0$とする。すると、$M$は以下のいずれかを満たす。

• シリンダーの一部である。
• 平面の一部である。
• コーンの一部である。

さらに、これらの曲面は局所的に等距離である。

証明

回転面のガウス曲率を$K = 0$とする。回転面の曲率が$K = -\dfrac{r^{\prime \prime}}{r}$なので、それにより$r^{\prime \prime} = 0$となる。したがって、

$$ r^{\prime \prime}(s) = 0 \implies r^{\prime}(s) = a \implies r(s) = as + b $$

$z^{\prime} = \pm\sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}}$より、

$$ z^{\prime} = \pm \sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}} = \pm \sqrt{1 - a^{2}} $$

$$ \implies z = \pm \sqrt{1-a^{2}}s + d = cs + d $$

したがって、曲線$\boldsymbol{\alpha} = (r, z)$は次のようになる。

$$ \boldsymbol{\alpha}(s) =\big(r(s), z(s)) = (as + b, cs + d),\quad a,b,c,d \in \mathbb{R} $$

もし$a=0$ならば、$\alpha (s) = (b, cs + d)$であり、結果として得られる回転面は円筒の一部である。

もし$c=0$ならば、$\alpha (s) = (as + b, d)$は平面であり、結果として得られる回転面は平面の一部である。

もし$a\ne 0, c\ne 0$ならば、$\alpha (s) = (as + b, cs + d)$であり、この直線は$r$軸にも$z$軸にも平行ではない。結果として得られる回転面はコーンの一部である。

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