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曲率が0の回転面 📂幾何学

曲率が0の回転面

定理1

MM回転面α\boldsymbol{\alpha}単位速度曲線ガウス曲率K=0K=0とする。すると、MMは以下のいずれかを満たす。

  • シリンダーの一部である。
  • 平面の一部である。
  • コーンの一部である。

さらに、これらの曲面は局所的に等距離である。

証明

回転面のガウス曲率をK=0K = 0とする。回転面の曲率K=rrK = -\dfrac{r^{\prime \prime}}{r}なので、それによりr=0r^{\prime \prime} = 0となる。したがって、

r(s)=0    r(s)=a    r(s)=as+b r^{\prime \prime}(s) = 0 \implies r^{\prime}(s) = a \implies r(s) = as + b

z=±1(r)2z^{\prime} = \pm\sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}}より、

z=±1(r)2=±1a2 z^{\prime} = \pm \sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}} = \pm \sqrt{1 - a^{2}}

    z=±1a2s+d=cs+d \implies z = \pm \sqrt{1-a^{2}}s + d = cs + d

したがって、曲線α=(r,z)\boldsymbol{\alpha} = (r, z)は次のようになる。

α(s)=(r(s),z(s))=(as+b,cs+d),a,b,c,dR \boldsymbol{\alpha}(s) =\big(r(s), z(s)) = (as + b, cs + d),\quad a,b,c,d \in \mathbb{R}

もしa=0a=0ならば、α(s)=(b,cs+d)\alpha (s) = (b, cs + d)であり、結果として得られる回転面は円筒の一部である。

もしc=0c=0ならば、α(s)=(as+b,d)\alpha (s) = (as + b, d)は平面であり、結果として得られる回転面は平面の一部である。

fig1.png

もしa0,c0a\ne 0, c\ne 0ならば、α(s)=(as+b,cs+d)\alpha (s) = (as + b, cs + d)であり、この直線はrr軸にもzz軸にも平行ではない。結果として得られる回転面はコーンの一部である。

fig2.png


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p155-156 ↩︎