正のガウス曲率を持つ回転面
📂幾何学正のガウス曲率を持つ回転面
概要
単位速度曲線 α(s)=(r(s),z(s))によって作られる回転面をMとしよう。
M={(r(s)cosθ,r(s)sinθ,z(s)):0≤θ≤2π,s∈(s0,s1)}
Mの座標片写像 xは次のとおりだ。
x(s,θ)=(r(s)cosθ,r(s)sinθ,z(s))
この時、この回転面のガウス曲率は以下の通りになる。
K=−rr′′
ガウス曲率がK=−rr′′=a2で正の回転面について説明する。
説明
上記の仮定によりr′′+a2r=0を得る。これは2階の常微分方程式なので、解は以下の通りだ。
r(s)=a1cos(as)+a2sin(as)=Acos(as+b)
これをb=0としよう。すると、r>0という仮定があったので、A>0であり、∣s∣<π/2aである。また、z′=±1−(r′)2なので、以下の定理を得る。
定理
Mを単位速度曲線 α(s)によって作られる回転面で、ガウス曲率が正の定数K=a2としよう。すると、α(s)=(r(s),z(s))は以下のように与えられる。
r(s)z(s)=Acos(as),∣s∣<π/2a=±∫0s1−a2A2sin2(at)dt+C
ここで、A>0,Cは定数である。
もしA=a1ならば、与えられた積分(1)は初等積分として現れず、これを楕円積分という。
もしA=a1ならば、単純にz(s)=±∫0scos(at)dt+C=±a1sin(as)+Cである。したがって、r2+z2=a21であるから、回転面Mは球である。
Aの値による回転面の形状はそれぞれ以下の通りである。

また、r=Acos(as)であるため、メトリック係数の行列は、
[gij]=[100A2cos2(as)]