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正のガウス曲率を持つ回転面 📂幾何学

正のガウス曲率を持つ回転面

概要1

単位速度曲線 α(s)=(r(s),z(s))\boldsymbol{\alpha}(s) = \left( r(s), z(s) \right)によって作られる回転面MMとしよう。

M={(r(s)cosθ,r(s)sinθ,z(s)):0θ2π,s(s0,s1)} M = \left\{ \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right) : 0 \le \theta \le 2\pi, s \in (s_{0}, s_{1}) \right\}

MM座標片写像 x\mathbf{x}は次のとおりだ。

x(s,θ)=(r(s)cosθ,r(s)sinθ,z(s)) \mathbf{x}(s, \theta) = \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right)

この時、この回転面のガウス曲率以下の通りになる。

K=rr K = -\dfrac{r^{\prime \prime}}{r}

ガウス曲率がK=rr=a2K = -\dfrac{r^{\prime \prime}}{r} = a^{2}で正の回転面について説明する。

説明

上記の仮定によりr+a2r=0r^{\prime \prime} + a^{2}r = 0を得る。これは2階の常微分方程式なので、解は以下の通りだ

r(s)=a1cos(as)+a2sin(as)=Acos(as+b) r(s) = a_{1}\cos(as) + a_{2}\sin(as) = A\cos(as + b)

これをb=0b=0としよう。すると、r>0r>0という仮定があったので、A>0A > 0であり、s<π/2a\left| s \right| \lt \pi/2aである。また、z=±1(r)2z^{\prime} = \pm\sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}}なので、以下の定理を得る。


定理

MM単位速度曲線 α(s)\boldsymbol{\alpha}(s)によって作られる回転面で、ガウス曲率が正の定数K=a2K = a^{2}としよう。すると、α(s)=(r(s),z(s))\boldsymbol{\alpha}(s) = \left( r(s), z(s) \right)は以下のように与えられる。

r(s)=Acos(as),s<π/2az(s)=±0s1a2A2sin2(at)dt+C \begin{align} r(s) &= A\cos (as),\quad \left| s \right| \lt \pi/2a \nonumber \\ z(s) &= \pm \int_{0}^{s} \sqrt{1 - a^{2}A^{2} \sin^{2}(at)}dt + C \end{align}

ここで、A>0,CA > 0, Cは定数である。


もしA1aA \ne \dfrac{1}{a}ならば、与えられた積分(1)(1)は初等積分として現れず、これを楕円積分という。

もしA=1aA = \dfrac{1}{a}ならば、単純にz(s)=±0scos(at)dt+C=±1asin(as)+Cz(s) = \pm {\displaystyle \int}_{0}^{s} \cos(at)dt + C = \pm\frac{1}{a}\sin (as) + Cである。したがって、r2+z2=1a2r^{2} + z^{2} = \frac{1}{a^{2}}であるから、回転面MMは球である。

AAの値による回転面の形状はそれぞれ以下の通りである。

slide29.png

また、r=Acos(as)r = A\cos(as)であるため、メトリック係数の行列は、

[gij]=[100A2cos2(as)] \begin{bmatrix} g_{ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A^{2} \cos^{2}(as) \end{bmatrix}


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p154 ↩︎