📂幾何学

曲面の基本定理

定理¹

開集合$U \subset \mathbb{R}^{2}$について、$U$内の任意の二点が$U$内の曲線で繋がるとしよう。そして、関数$L_{ij}, g_{ij} : U \to \mathbb{R}\ (i,j = 1,2)$が微分可能で次のような性質を持つとする。

1. $L_{12} = L_{21}$、$g_{12} = g_{21}$、$g_{11}, g_{22} > 0$、そして$g_{11}g_{22} - (g_{12})^{2} > 0$
2. $L_{ij}, g_{ij}$がガウス方程式とコダッチ-マイナルディ方程式を満たすとする。

$$\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial u^{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{ij}^{l}}{\partial u^{k}} + \sum_{p} \left( \Gamma_{ik}^{p} \Gamma_{pj}^{l} - \Gamma_{ij}^{p}\Gamma_{pk}^{l}\right) = L_{ik}L_{j}^{l} - L_{ij}L_{k}^{l}$$

$$\dfrac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}_{}} - \dfrac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} = \sum\limits_{l} \left( \Gamma_{ik}^{l}L_{lj} - \Gamma_{ij}^{l}L_{lk} \right)$$

この時、$\Gamma_{ij}^{k} = \dfrac{1}{2} \sum \limits_{l=1}^{2} g^{lk} \left( \dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u_{i}} - \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u_{l}} + \dfrac{\partial g_{il}}{\partial u_{j}} \right)$である。

それから、$p \in U$について、'$p \in V \subset U$であり$g_{ij}$と$L_{ij}$を 第一基本形式の係数、第二基本形式の係数として持つ 座標片写像 $\mathbf{x} : V \to \mathbb{R}^{3}$が一意に存在するようにする' 開集合$V$が存在する。

解説

曲線の基本定理の核心は、'曲率と捩率で曲線が一意に決定される' そして '微分可能な$\overline{\kappa} >0$と連続な$\overline{\tau}$について、それを曲率と捩率として持つ曲線が存在する' ということだった。

同様に、曲面の基本定理は、'曲面はガウス方程式とコダッチ-マイナルディ方程式で一意に決定される'と言っている。