📂幾何学

曲線に沿って平行であるベクトル場の必要十分条件

定理¹

$\boldsymbol{\gamma}(t) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t) \right)$を正則曲線とし、それが$\mathbf{x}$の座標パッチ上にあるとする。$\mathbf{X}(t)$を曲線$\boldsymbol{\gamma}$に沿った微分可能ベクトル場とする。

$$\mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2}$$

すると、$\mathbf{X}(t)$が$\boldsymbol{\gamma}$に沿って平行であるための必要十分条件は以下のようになる。

$$0 = \dfrac{d X^{k}}{d t} + \sum_{i,j} \Gamma_{ij}^{k} X^{i}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t},\quad k=1,2$$

証明

$\mathbf{X}$が平行であることの定義は、$\mathbf{X}_{t}$が表面と直交していることである。したがって、$\mathbf{x}_{l}$は接平面の基底であるため、以下が成立する。

$$\mathbf{X} \text{ is parallel } \iff 0 = \left\langle \dfrac{d \mathbf{X}}{d t}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle$$

この時、$\mathbf{X}_{t}$を計算すると以下のようになる。

$$\dfrac{d \mathbf{X}}{d t} = \dfrac{d}{dt}\left( \sum_{i}X^{i}\mathbf{x}_{i}\right) = \sum_{i} \dfrac{d X^{i}}{d t} \mathbf{x}_{i} + \sum_{i} X^{i}\dfrac{d \mathbf{x}_{i}}{d t} = \sum_{i} \dfrac{d X^{i}}{d t} \mathbf{x}_{i} + \sum_{i,j} X^{i}\mathbf{x}_{ij}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t}$$

したがって

$$\begin{align} \mathbf{X} \text{ is parallel } \iff 0 =&\ \left\langle \sum_{i} \dfrac{d X^{i}}{d t} \mathbf{x}_{i} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle + \left\langle \sum_{i,j} X^{i}\mathbf{x}_{ij}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle \nonumber \\ =&\ \sum_{i} \dfrac{d X^{i}}{d t} \left\langle \mathbf{x}_{i} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle + \sum_{i,j}\left\langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle X^{i}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t} \nonumber \\ =&\ \sum_{i} \dfrac{d X^{i}}{d t} g_{il} + \sum_{i,j}\left\langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle X^{i}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t} \label{dfsdf} \end{align}$$

ここで、$g_{il}$は第一基本形式の係数である。今、上の式の両辺に$g^{lk}$を掛けてインデックス$l$について足すと、以下のようになる。

$$0 = \sum_{i,l} \dfrac{d X^{i}}{d t} g_{il}g^{lk} + \sum_{i,j,l}\left\langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} X^{i}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t}$$

すると、$g_{il}g^{lk}$の性質とクリストッフェル記号の定义により、以下が成立する。

$$\begin{align*} 0 =&\ \sum_{i} \dfrac{d X^{i}}{d t} \delta_{i}^{k} + \sum_{i,j} \Gamma_{ij}^{k} X^{i}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t} \\ =&\ \dfrac{d X^{k}}{d t} + \sum_{i,j} \Gamma_{ij}^{k} X^{i}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t},\quad k=1,2 \end{align*}$$

逆に、上の式の両辺に$g_{kl}$を掛けてインデックス$k$について足すと$(1)$を得る。

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