基本形式と座標変換の関係
📂幾何学基本形式と座標変換の関係
概要
座標変換 f:V→Uが与えられたとき、U上のメトリック gとV上のメトリックgの関係について説明する。
アインシュタインの記法を使う。
公式
座標部分写像 x:U→R3のメトリックgとy=x∘f:V→R3のメトリックg、そして接ベクトル X=Xixi=Xαyαに対して、次の関係が成り立つ。
Xigijggkl=α∑Xα∂vα∂ui=α,β∑gαβ∂ui∂vα∂uj∂vβ=g(det[∂ui∂vα])2=γ,δ∑gγδ∂vγ∂uk∂uδ∂ul
Xαgαβggγδ=i∑Xi∂ui∂vα=i,j∑gij∂vα∂ui∂vj∂uj=g(det[∂vα∂ui])2=k,l∑gkl∂uk∂vγ∂ul∂vδ
説明
(1) (4)は一般的にU座標系上の情報を、V座標系上の情報にどのように表現するかを説明している。その中で、(1),(4)はf:V→Uのヤコビアンを含み、(2),(3)はg=f−1=U→Vのヤコビアンを含む。伝統的に、(1),(4)のような変換を反変換contravariant transformationと呼ぶ。Jがfのヤコビアンである場合、
[X1X2]=∂v1∂u1∂v1∂u2∂v2∂u1∂v2∂u2[X1X2]=J[X1X2](1)
g11g21g12g22=∂v1∂u1∂v1∂u2∂v2∂u1∂v2∂u2g11g21g12g22∂v1∂u1∂v2∂u1∂v1∂u2∂v2∂u2=Jg11g21g12g22Jt(4)
(2)のような変換は共変換covariant transformationと呼ばれる。
g11g21g12g22=∂u1∂v1∂u2∂v1∂u1∂v2∂u2∂v2g11g21g12g22∂u1∂v1∂u1∂v2∂u2∂v1∂u2∂v2=(J−1)tg11g21g12g22J−1(2)
(3)は行列の積を含まないので変換ではない。 (5),(6),(8)も行列の積で表すと、
[X1X2]=∂u1∂v1∂u1∂v2∂u2∂v1∂u2∂v2[X1X2]=J−1[X1X2](5)
g11g21g12g22=∂v1∂u1∂v2∂u1∂v1∂u2∂v2∂u2g11g21g12g22∂v1∂u1∂v1∂u2∂v2∂u1∂v2∂u2=Jtg11g21g12g22J(6)
g11g21g12g22=∂u1∂v1∂u1∂v2∂u2∂v1∂u2∂v2g11g21g12g22∂u1∂v1∂u2∂v1∂u1∂v2∂u2∂v2=J−1g11g21g12g22(J−1)t(8)
導出
としよう。
gij=⟨xi,xj⟩
座標部分写像y=x∘f:V→R3について、としよう。
yα=∂vα∂y,gαβ=⟨yα,yβ⟩
g=det[gαβ],[gγβ]=[gαβ]−1
連鎖法則により、次を得る。
xi=∂v1∂y∂ui∂v1+∂v2∂y∂ui∂v2=α∑∂vα∂y∂ui∂vα=yα∂ui∂vα
yα=∂u1∂x∂vα∂u1+∂u2∂x∂vα∂u2=i∑∂ui∂x∂vα∂ui=xi∂vα∂ui
したがってgijは、次のように表される。
gij=⟨xi,xj⟩=⟨yα,yβ⟩∂ui∂vα∂uj∂vβ=gαβ∂ui∂vα∂uj∂vβ
行列の積で表すと、以下のようになる。
g11g21g12g22=∂u1∂v1∂u2∂v1∂u1∂v2∂u2∂v2g11g21g12g22∂u1∂v1∂u1∂v2∂u2∂v1∂u2∂v2
Jをf:V→Uのヤコビアンとしよう。
J=∂v1∂u1∂v1∂u2∂v2∂u1∂v2∂u2andJ−1=∂u1∂v1∂u1∂v2∂u2∂v1∂u2∂v2
すると、
[gij]=(J−1)t[gαβ]J−1
g=det[gij]=det((J−1)t[gαβ]J−1)=det(J−1)tdet[gαβ]detJ−1=det[gαβ](detJ−1)2=g(det[∂ui∂vα])2
また、逆行列は、
[gkl]=[gij]−1=((J−1)t[gαβ]J−1)−1=J[gαβ]−1Jt=J[gγδ]Jt
⟹gkl=gγδ∂vγ∂uk∂uδ∂ul
接ベクトルをX=Xixi=Xαyαとすると、
Xixi=Xαyα=Xα∂vα∂uixi⟹Xi=Xα∂vα∂ui
U、Vを逆に考えると、残りの結果を得る。
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