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ビンガルテン方程式 📂幾何学

ビンガルテン方程式

定理1

曲面MM上では、次の式が成り立つ。

nj=kLkjxk \mathbf{n}_{j} = - \sum_{k} {L^{k}}_{j}\mathbf{x}_{k}

ここで、x:UM\mathbf{x} : U \to M座標片写像n\mathbf{n}単位法線Lkj=iLijgik{L^{k}}_{j} = \sum\limits_{i}L_{ij}g^{ik}だ。

説明

曲線のフレネ・セレフレーム{T,N,B}\left\{ \mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B} \right\}を考えよう。これは互いに垂直な3つのベクトルであるため、R3\mathbb{R}^{3}基底となる。また、各々の微分は他のベクトルの線形結合として表され、これをフレネ・セレの公式という。

T(s)= κ(s)N(s)N(s)= κ(s)T(s)+τ(s)B(s)B(s)= τ(s)N(s) \begin{align*} \mathbf{T}^{\prime}(s) =&\ \kappa (s) \mathbf{N}(s) \\ \mathbf{N}^{\prime}(s) =&\ - \kappa (s) \mathbf{T}(s) + \tau (s) \mathbf{B}(s) \\ \mathbf{B}^{\prime}(s) =&\ - \tau (s) \mathbf{N}(s) \end{align*}

さて、集合{x1,x2,n}\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n} \right\}を考えてみよう。x1\mathbf{x}_{1}x2\mathbf{x}_{2}接空間を生成し、n\mathbf{n}はこれら二つに垂直であるため、この集合もまたR3\mathbb{R}^{3}の基底となる。そうなると、今度はガウスの公式とヴァインガルテン方程式から、曲面MMに対してフレネ・セレの公式と同様の役割を果たす次の公式を得ることができる。

xij=Lijn+kΓijkxknj=kLkjxk \begin{align*} \mathbf{x}_{ij} &= L_{ij}\mathbf{n} + \sum_{k} \Gamma_{ij}^{k}\mathbf{x}_{k} \\ \mathbf{n}_{j} &= - \sum_{k} {L^{k}}_{j}\mathbf{x}_{k} \end{align*}

証明

nj=L(xj)\mathbf{n}_{j} = - L(\mathbf{x}_{j})が成り立つため、

nj=L(xj)=kLkjxk \mathbf{n}_{j} = - L(\mathbf{x}_{j}) = - \sum_{k} {L^{k}}_{j}\mathbf{x}_{k}


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p125-126 ↩︎