ビンガルテン方程式
📂幾何学ビンガルテン方程式
定理
曲面M上では、次の式が成り立つ。
nj=−k∑Lkjxk
ここで、x:U→Mは座標片写像、nは単位法線、Lkj=i∑Lijgikだ。
説明
曲線のフレネ・セレフレーム{T,N,B}を考えよう。これは互いに垂直な3つのベクトルであるため、R3の基底となる。また、各々の微分は他のベクトルの線形結合として表され、これをフレネ・セレの公式という。
T′(s)=N′(s)=B′(s)= κ(s)N(s) −κ(s)T(s)+τ(s)B(s) −τ(s)N(s)
さて、集合{x1,x2,n}を考えてみよう。x1とx2は接空間を生成し、nはこれら二つに垂直であるため、この集合もまたR3の基底となる。そうなると、今度はガウスの公式とヴァインガルテン方程式から、曲面Mに対してフレネ・セレの公式と同様の役割を果たす次の公式を得ることができる。
xijnj=Lijn+k∑Γijkxk=−k∑Lkjxk
証明
nj=−L(xj)が成り立つため、
nj=−L(xj)=−k∑Lkjxk
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