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同一関数

定義¹

集合 $X$に対して、以下の関数 $I_{X} : X \to X$を恒等関数^{identity function}という。

$$ I_{X}(x) = x,\quad \forall x \in X $$

説明

主に以下のような記法が使われる。

$$ I,\quad \text{id},\quad \text{1} $$

微分多様体上の接ベクトルは、$\dfrac{d (f\circ \alpha)}{d t}$のように定義され、微分される関数を

$$ f \circ \alpha = f \circ I \circ \alpha = f \circ \mathbf{x} \circ \mathbf{x}^{-1} \circ \alpha $$

として分解することで、任意の座標系 $\mathbf{x}$ に対して接ベクトルを表現しつつ、その座標系の選択に依存しないようにすることができる。

例

恒等行列

$$ I_{n\times n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} $$