logo

n次元微分可能多様体上の接空間はn次元ベクトル空間である 📂幾何学

n次元微分可能多様体上の接空間はn次元ベクトル空間である

概要

MMをnn次元微分多様体、TpMT_{p}Mを点p∈Mp\in M上の接空間だとしよう。接空間はベクトル空間になり、特にnn次元ベクトル空間になる。以下の集合が接空間の基底になり、この事実は微分多様体を勉強する上で非常に役立つ。

B={∂∂xi∣p:1≤i≤n} \mathcal{B} = \left\{ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} : 1 \le i \le n \right\}

定理11

TpMT_{p}MはR−\mathbb{R}-ベクトル空間である。

証明

ベクトル空間になるための条件は以下のように十個があるが、その中からいくつかを証明しよう。

u,v,w∈V\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in Vとk,l∈Fk, l \in \mathbb{F}に対して、

(A1) u,v\mathbf{u}, \mathbf{v}がVVの要素ならu+v\mathbf{u}+\mathbf{v}もVVの要素である。

(A2) u+v=v+u\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}

(A3) (u+v)+w=u+(v+w)(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})

(A4) VV内の全てのu\mathbf{u}に対して、u+0=0+u=u\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{u} = \mathbf{u}を満たす0\mathbf{0}がVV内に存在する。

(A5) VV内の全てのu\mathbf{u}に対してu+v=v+u=0\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} = \mathbf{0}を満たすv\mathbf{v}がVV内に存在する。

(M1) u\mathbf{u}がVVの要素ならkuk \mathbf{u}もVVの要素である。

(M2) k(u+v)=ku+kvk(\mathbf{u} + \mathbf{v})=k\mathbf{u} + k\mathbf{v}

(M3) (k+l)u=ku+lu(k+l)\mathbf{u}=k\mathbf{u}+ l\mathbf{u}

(M4) k(lu)=(kl)(u)k(l\mathbf{u})=(kl)(\mathbf{u})

(M5) 1∈F1\in \mathbb{F}に対して、1u=u1\mathbf{u} = \mathbf{u}

X,Y∈TpM\mathbf{X}, \mathbf{Y} \in T_{p}Mとしよう。ppで微分可能な関数の集合をD\mathcal{D}としよう。

D:={f:M→R∣functions on Mthat are differentiable at p} \mathcal{D} := \left\{ f : M \to \mathbb{R} | \text{functions on } M \text{that are differentiable at } p \right\}

ベクトル空間になるためには、要素間の和とスカラー倍が定義されなければならない。和とスカラー倍を次のように定義しよう。

(X+Y)(f):=Xf+Yf(r⋅X)(f):=r⋅Xf,r∈R (\mathbf{X} + \mathbf{Y}) (f) := \mathbf{X}f + \mathbf{Y}f \\ (r \cdot \mathbf{X}) (f) := r \cdot \mathbf{X}f,\quad r \in \mathbb{R}

(A1) X\mathbf{X}とY\mathbf{Y}がそれぞれD→R\mathcal{D} \to \mathbb{R}の関数であるため、Xf,Yf∈R\mathbf{X}f, \mathbf{Y}f \in \mathbb{R}である。二つの実数の和は実数であるため、X+Y:D→R\mathbf{X} + \mathbf{Y} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}である。したがって、X+Y∈TpM\mathbf{X} + \mathbf{Y} \in T_{p}Mである。

(M1) Xf∈R\mathbf{X}f \in \mathbb{R}でr∈Rr \in \mathbb{R}であるため、r⋅Xf∈Rr \cdot \mathbf{X} f \in \mathbb{R}である。したがって、rX:D→Rr\mathbf{X} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}であり、rX∈TpMr\mathbf{X} \in T_{p}Mである。

(A4) 0:D→R\mathbf{0} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}を0f=0(∀f∈D)\mathbf{0} f = 0 (\forall f \in \mathcal{D})として定義しよう。すると、

(X+0)(f)=Xf+0f=Xf (\mathbf{X} + \mathbf{0})(f) = \mathbf{X}f + \mathbf{0}f = \mathbf{X}f

(A5) −X-\mathbf{X}を(−X)(f):=(−1)⋅Xf(-\mathbf{X})(f) := (-1) \cdot \mathbf{X}fとして定義すると、(M1)によって(−1)X∈TpM(-1)\mathbf{X} \in T_{p}Mであり、X+(−X)=0\mathbf{X} + (-\mathbf{X}) = \mathbf{0}が成り立つ。

■

定理2

TpMT_{p}Mはnn次元ベクトル空間である。特に、x:U→M\mathbf{x} : U \to Mを点p∈Mp \in Mに関する座標系としよう。すると、集合

B={∂∂xi∣p:1≤i≤n} \mathcal{B} = \left\{ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} : 1 \le i \le n \right\}

は接空間TpMT_{p}Mの基底である。この時、∂∂xi∣p:D→R\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}は次のように定義される。

∂∂xi∣pf:=∂(f∘x)∂ui∣p,f∈D \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} f := \left. \dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}} \right|_{p},\quad f \in \mathcal{D}

(u1,…,un)(u_{1}, \dots, u_{n})はR\mathbb{R}の座標である。

証明

基底の定義によれば、B\mathcal{B}が線形独立であり、TpMT_{p}Mを生成することを示せばよい。

  • パート1. 線形独立

    座標系x:U⊂Rn→M\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to Mに対して、座標関数xi:M→Rx_{i} : M \to \mathbb{R}は以下のようである。

    x(u)=px−1(p)=(x1(p),…,xn(p))=(u1,…,un) \mathbf{x}(\mathbf{u}) = p \\ \mathbf{x}^{-1}(p) = (x_{1}(p), \dots, x_{n}(p)) = (u_{1}, \dots, u_{n})

    ここで、f=xjf = x_{j}とすると、

    f∘x(u)=xj∘x(u)=xj(x(u))=xj(p)=uj f \circ \mathbf{x}(\mathbf{u}) = x_{j} \circ \mathbf{x}(\mathbf{u}) = x_{j}(\mathbf{x}(\mathbf{u})) = x_{j}(p) = u_{j}

    したがって、

    ∂∂xi∣pxj=∂(xj∘x)∂ui∣p=∂uj∂ui=δij \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} x_{j} = \left. \dfrac{\partial (x_{j} \circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}} \right|_{p} = \dfrac{\partial u_{j}}{\partial u_{i}} = \delta_{ij}

    この時、δij\delta_{ij}はクロネッカーデルタである。

    方程式ci∂∂xi∣p=0c_{i}\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} = \mathbf{0}を見ると、全てのiiに対してci=0c_{i} = 0であれば線形独立である。任意のxjx_{j}を1≤j≤n1 \le j \le nに代入すると、

    0=0(xj)=ci∂∂xi∣pxj=ciδij=cj 0 = \mathbf{0}(x_{j}) = c_{i}\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} x_{j} = c_{i}\delta_{ij} = c_{j}

    したがって、全てのjjに対してcj=0c_{j} = 0であり、他の解は存在しないことが分かる。したがって、B\mathcal{B}は線形独立である。

  • パート2. 生成

    f∈Df \in \mathcal{D}、a=x−1(p)\mathbf{a} = \mathbf{x}^{-1} (p)、F=f∘xF = f \circ \mathbf{x}としよう。するとF:Rn→RF : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}である。

    多変数関数に対するテイラーの定理

    F(x)=F(a)+∑i∂F∂xi(a)(xi−ai)+∑i,jhij(x)(xi−ai)(xj−aj) F(\mathbf{x}) = F(\mathbf{a}) + \sum_{i} \dfrac{\partial F}{\partial x_{i}}(\mathbf{a})(x_{i} - a_{i}) + \sum_{i,j}h_{ij}(\mathbf{x})(x_{i} - a_{i}) (x_{j} - a_{j})

    上記のテイラーの定理をFFに適用すると、次が成り立つ。m∈Mm \in Mに対して、

    f(m)= F∘x−1(m)=F(x−1(m))= F(a)+∑i∂F∂ui(a)(xi(m)−ai)+∑i,jhij(x−1(m))(xi(m)−ai)(xj(m)−aj)= F∘x−1(p)+∑i∂F∂ui(x−1(p))(xi(m)−ai)+∑hij(x−1(m))(xi(m)−ai)(xj(m)−aj)= f(p)+∑i(∂∂xi∣pf)(xi(m)−ai)+∑hij(x−1(m))(xi(m)−ai)(xj(m)−aj) \begin{align*} f(m) =&\ F \circ \mathbf{x}^{-1}(m) = F ( \mathbf{x}^{-1}(m)) \\ =&\ F (\mathbf{a}) + \sum_{i} \dfrac{\partial F}{\partial u_{i}}(\mathbf{a})(x_{i}(m) - a_{i}) + \sum_{i,j}h_{ij}(\mathbf{x}^{-1}(m))(x_{i}(m) - a_{i}) (x_{j}(m) - a_{j}) \\ =&\ F \circ \mathbf{x}^{-1}(p) + \sum_{i} \frac{\partial F}{\partial u_{i}}(\mathbf{x}^{-1}(p)) \left(x_{i}(m)-a_{i}\right) +\sum h_{i j}(\mathbf{x}^{-1}(m))\left(x_{i}(m)-a_{i}\right)\left(x_{j}(m)-a_{j}\right) \\ =&\ f(p) + \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \left(x_{i}(m)-a_{i}\right) +\sum h_{i j}(\mathbf{x}^{-1}(m))\left(x_{i}(m)-a_{i}\right)\left(x_{j}(m)-a_{j}\right) \end{align*}

    したがって、ffは以下のようなマッピングである。

    f=f(p)+∑i(∂∂xi∣pf)(xi−ai)+∑(hij∘x−1)(xi−ai)(xj−aj) f = f(p) + \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \left(x_{i}-a_{i}\right) +\sum (h_{i j} \circ \mathbf{x}^{-1})\left(x_{i}-a_{i}\right)\left(x_{j}-a_{j}\right)

    これを接ベクトルX\mathbf{X}に適用すると、

    X(f)=X(f(p))+∑i(∂∂xi∣pf)X(xi−ai)+∑X[(hij∘x−1)(xi−ai)(xj−aj)] \mathbf{X}(f) = \mathbf{X}(f(p)) + \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \mathbf{X}\left(x_{i}-a_{i}\right) +\sum \mathbf{X}\left[ (h_{i j} \circ \mathbf{x}^{-1})\left(x_{i}-a_{i}\right)\left(x_{j}-a_{j}\right) \right]

    接ベクトルは微分作用素として定義されるため、定数関数ccに対してX(c)=0\mathbf{X}(c) = 0である。したがって、上記式の最初の項は00である。

    Xp(fg)=f(p)Xp(g)+g(p)Xp(f) \mathbf{X}_{p}(fg) = f(p)\mathbf{X}_{p}(g) + g(p)\mathbf{X}_{p}(f)

    したがって、もしf(p)=g(p)=0f(p)=g(p)=0であれば、

    Xp(fg)=0 \mathbf{X}_{p}(fg) = 0

    また、f=(hij∘x−1)(xi−ai)f = (h_{i j} \circ \mathbf{x}^{-1})\left(x_{i}-a_{i}\right)、g=(xj−aj)g=\left(x_{j}-a_{j}\right)として上記の補題を適用すると、xi(p)=aix_{i}(p) = a_{i}であるため、三番目の項も00であることが分かる。したがって、次を得る。

    X(f)= ∑i(∂∂xi∣pf)X(xi−ai)= ∑i(∂∂xi∣pf)(X(xi)−X(ai))= ∑i(∂∂xi∣pf)X(xi)= ∑iX(xi)∂∂xi∣pf \begin{aligned} \mathbf{X}(f) =&\ \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \mathbf{X}\left(x_{i}-a_{i}\right) \\ =&\ \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \left(\mathbf{X}(x_{i}) - \mathbf{X}(a_{i})\right) \\ =&\ \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \mathbf{X}(x_{i}) \\ =&\ \sum_{i} \mathbf{X}(x_{i}) \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \end{aligned}

      ⟹  X=∑iX(xi)∂∂xi∣p \implies \mathbf{X} = \sum_{i} \mathbf{X}(x_{i}) \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p}

    したがって、任意のX\mathbf{X}がB\mathcal{B}の線形結合で表されるため、TpMT_{p}MはB\mathcal{B}によって生成される。

■

  1. リチャード・S・ミルマン と ジョージ・D・パーカー, 微分幾何の要素 (1977), p214 ↩︎