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クリストッフェル記号は内在的である 📂幾何学

クリストッフェル記号は内在的である

要旨1

クリストッフェル記号 Γijk\Gamma_{ij}^{k}は次の式を満たす。つまり、固有的である。

Γijk=12∑l=12glk(∂glj∂ui−∂gij∂ul+∂gil∂uj) \Gamma_{ij}^{k} = \dfrac{1}{2} \sum \limits_{l=1}^{2} g^{lk} \left( \dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u_{i}} - \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u_{l}} + \dfrac{\partial g_{il}}{\partial u_{j}} \right)

説明

ガウスが証明した。

クリストッフェル記号はリーマン計量にのみ依存し、法線ベクトルとは無関係である。従って、クリストッフェル記号を使って、曲面を離れずに曲面の構造を理解することができる。

証明

まず、各インデックスに対するリーマン計量係数の偏微分を求めると次のようになる。

∂gil∂uj=∂∂uj⟨xi,xl⟩=⟨xij,xl⟩+⟨xi,xlj⟩ \dfrac{\partial g_{il}}{\partial u_{j}} = \dfrac{\partial}{\partial u_{j}} \left\langle \mathbf{x}_{i} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle = \langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \rangle + \langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{lj} \rangle

∂gij∂ul=∂∂ul⟨xi,xj⟩=⟨xil,xj⟩+⟨xi,xjl⟩ \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u_{l}} = \dfrac{\partial}{\partial u_{l}} \left\langle \mathbf{x}_{i} , \mathbf{x}_{j} \right\rangle = \langle \mathbf{x}_{il} , \mathbf{x}_{j} \rangle + \langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{jl} \rangle

∂glj∂ui=∂∂ui⟨xl,xj⟩=⟨xli,xj⟩+⟨xl,xji⟩ \dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u_{i}} = \dfrac{\partial}{\partial u_{i}} \left\langle \mathbf{x}_{l} , \mathbf{x}_{j} \right\rangle = \langle \mathbf{x}_{li} , \mathbf{x}_{j} \rangle + \langle \mathbf{x}_{l}, \mathbf{x}_{ji} \rangle

xij=xji\mathbf{\mathbf{x}}_{ij} = \mathbf{\mathbf{x}}_{ji}であるため、

∂gil∂uj−∂gij∂ul+∂glj∂ui= ⟨xij,xl⟩+⟨xi,xlj⟩−⟨xil,xj⟩−⟨xi,xjl⟩+⟨xli,xj⟩+⟨xl,xji⟩= ⟨xij,xl⟩+⟨xl,xji⟩= 2⟨xij,xl⟩ \begin{align*} \dfrac{\partial g_{il}}{\partial u_{j}} - \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u_{l}} + \dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u_{i}} =&\ \langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \rangle + \langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{lj} \rangle - \langle \mathbf{x}_{il} , \mathbf{x}_{j} \rangle - \langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{jl} \rangle + \langle \mathbf{x}_{li} , \mathbf{x}_{j} \rangle + \langle \mathbf{x}_{l}, \mathbf{x}_{ji} \rangle \\ =&\ \langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \rangle + \langle \mathbf{x}_{l}, \mathbf{x}_{ji} \rangle \\ =&\ 2 \langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \rangle \end{align*}

従って、クリストッフェル記号は

Γijk=∑l=12⟨xij,xl⟩glk=12∑l=12(∂glj∂ui−∂gij∂ul+∂gil∂uj)glk \Gamma_{ij}^{k} = \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \dfrac{1}{2} \sum \limits_{l=1}^{2} \left( \dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u_{i}} - \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u_{l}} + \dfrac{\partial g_{il}}{\partial u_{j}} \right) g^{lk}

例

x(u1,u2)=(u1,u2,f(u1,u2))\mathbf{x}(u_{1}, u_{2}) = \left( u_{1}, u_{2}, f(u_{1}, u_{2}) \right)のようなモンジュパッチが与えられたとする。すると

x1=∂u1x=(1,0,f1)andx2=(0,1,f2) \mathbf{x}_{1} = \partial_{u_{1}}\mathbf{x} = (1,0,f_{1}) \quad \text{and} \quad \mathbf{x}_{2} = (0,1,f_{2})

この時、fi=∂uiff_{i} = \partial_{u_{i}}fである。Γ111\Gamma_{11}^{1}は以下の二つの方法で求めることができる。

外的に計算する

x1×x2=(−f1,−f2,1) \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} = (-f_{1}, -f_{2}, 1)

単位法線は

n=(−f1,−f2,1)(f1)2+(f2)2+1 \mathbf{n} = \dfrac{(-f_{1}, -f_{2}, 1)}{\sqrt{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}}

ガウスの公式

xij=Lijn+∑k=12Γijkxk \mathbf{x}_{ij} = L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{k=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} \mathbf{x}_{k}

x\mathbf{x}の二回微分はガウスの公式により次のようになる。

x11=(0,0,f11)=L11n+Γ111x1+Γ112x2 \mathbf{x}_{11} = (0, 0, f_{11}) = L_{11}\mathbf{n} + \Gamma_{11}^{1}\mathbf{x}_{1} + \Gamma_{11}^{2}\mathbf{x}_{2}

従って、第二基本形式の係数はLij=⟨xij,n⟩L_{ij} = \langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \rangleである

L11=⟨(0,0,f11),(−f1,−f2,1)(f1)2+(f2)2+1⟩=f11(f1)2+(f2)2+1 L_{11} = \left\langle (0,0,f_{11}), \dfrac{(-f_{1}, -f_{2}, 1)}{\sqrt{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}}\right\rangle = \dfrac{f_{11}}{\sqrt{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}}

x11\mathbf{x}_{11}を成分に分けて詳しく見ると次のようになる。

x11=(0,0,f11)=L11(f1)2+(f2)2+1(−f1,−f2,1)+Γ111(1,0,f1)+Γ112(0,1,f2) \mathbf{x}_{11} = (0, 0, f_{11}) = \dfrac{L_{11}}{\sqrt{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}}(-f_{1}, -f_{2}, 1) + \Gamma_{11}^{1}(1,0,f_{1}) + \Gamma_{11}^{2}(0,1,f_{2})

最初の成分を見ると、次の式を得る。

0= L11(−f1)(f1)2+(f2)2+1+Γ111  ⟹  Γ111= L11(f1)(f1)2+(f2)2+1  ⟹  Γ111= f1f11(f1)2+(f2)2+1 \begin{align*} && 0 =&\ \dfrac{L_{11}(-f_{1})}{\sqrt{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}} + \Gamma_{11}^{1} \\[1em] \implies&& \Gamma_{11}^{1} =&\ \dfrac{L_{11}(f_{1})}{\sqrt{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}} \\[1em] \implies&& \Gamma_{11}^{1} =&\ \dfrac{f_{1} f_{11}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1} \end{align*}

■

固有に計算する

上述の定理によると、Γ111\Gamma_{11}^{1}は次のように計算できる。

Γ111= 12∑l=12gl1(∂gl1∂u1−∂g11∂ul+∂g1l∂u1)= 12[g11(∂g11∂u1−∂g11∂u1+∂g11∂u1)+g21(∂g21∂u1−∂g11∂u2+∂g12∂u1)]= 12[g11∂g11∂u1+2g21∂g21∂u1−g21∂g11∂u2] \begin{align*} \Gamma_{11}^{1} =&\ \dfrac{1}{2} \sum \limits_{l=1}^{2} g^{l1} \left( \dfrac{\partial g_{l1}}{\partial u_{1}} - \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{l}} + \dfrac{\partial g_{1l}}{\partial u_{1}} \right) \\ =&\ \dfrac{1}{2} \left[ g^{11} \left( \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} - \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} + \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} \right) + g^{21} \left( \dfrac{\partial g_{21}}{\partial u_{1}} - \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{2}} + \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{1}} \right) \right] \\ =&\ \dfrac{1}{2} \left[ g^{11} \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} + 2g^{21}\dfrac{\partial g_{21}}{\partial u_{1}} - g^{21}\dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{2}} \right] \end{align*}

第一基本形式の係数はgij=⟨x1,x2⟩g_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\rangleである

[gij]=[1+(f1)2f1f2f1f21+(f2)2] \left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1+(f_{1})^{2} & f_{1}f_{2} \\[1em] f_{1}f_{2} & 1 + (f_{2})^{2} \end{bmatrix}

逆行列は

[gij]−1=[glk]=1(f1)2+(f2)2+1[1+(f2)2−f1f2−f1f21+(f1)2] \left[ g_{ij} \right]^{-1} = \left[ g^{lk} \right] = \dfrac{1}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}\begin{bmatrix} 1+(f_{2})^{2} & -f_{1}f_{2} \\[1em] -f_{1}f_{2} & 1 + (f_{1})^{2} \end{bmatrix}

必要なものを集めると次のようになる。

∂g11∂u1= ∂∂u1(1+(f1)2)=2f1f11∂g21∂u1= ∂∂u1(f1f2)=f11f2+f1f21∂g11∂u2= ∂∂u2(1+(f1)2)=2f1f12 \begin{align*} \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} =&\ \dfrac{\partial }{\partial u_{1}}\left( 1+ (f_{1})^{2} \right) = 2f_{1}f_{11} \\ \dfrac{\partial g_{21}}{\partial u_{1}} =&\ \dfrac{\partial }{\partial u_{1}}\left( f_{1}f_{2} \right) = f_{11}f_{2} + f_{1}f_{21} \\ \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{2}} =&\ \dfrac{\partial }{\partial u_{2}}\left( 1+ (f_{1})^{2} \right) = 2f_{1}f_{12} \end{align*}

そして

g11= 1+(f2)2(f1)2+(f2)2+1g21= −f1f2(f1)2+(f2)2+1 \begin{align*} g^{11} =&\ \dfrac{1+(f_{2})^{2}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1} \\ g^{21} =&\ \dfrac{-f_{1}f_{2}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1} \end{align*}

代入してみると次のようになる。

Γ111= 12[g11∂g11∂u1+2g21∂g21∂u1−g21∂g11∂u2]= 12[1+(f2)2(f1)2+(f2)2+12f1f11+2−f1f2(f1)2+(f2)2+1(f11f2+f1f21)−−f1f2(f1)2+(f2)2+12f1f12]= 1(f1)2+(f2)2+1[(1+(f2)2)f1f11+(−f1f2)(f11f2+f1f21)−(−f1f2)f1f12]= 1(f1)2+(f2)2+1[f1f11+f1(f2)2f11−f1(f2)2f11−(f1)2f2f21+(f1)2f2f12]= 1(f1)2+(f2)2+1[f1f11]= f1f11(f1)2+(f2)2+1 \begin{align*} \Gamma_{11}^{1} =&\ \dfrac{1}{2} \left[ g^{11} \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} + 2g^{21}\dfrac{\partial g_{21}}{\partial u_{1}} - g^{21}\dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{2}} \right] \\ =&\ \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{1+(f_{2})^{2}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1} 2f_{1}f_{11} + 2\dfrac{-f_{1}f_{2}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1} \left( f_{11}f_{2} + f_{1}f_{21} \right)- \dfrac{-f_{1}f_{2}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}2f_{1}f_{12} \right] \\ =&\ \dfrac{1}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}\left[ \left( 1+(f_{2})^{2} \right)f_{1}f_{11} + \left( -f_{1}f_{2} \right) \left( f_{11}f_{2} + f_{1}f_{21} \right)- (-f_{1}f_{2})f_{1}f_{12} \right] \\ =&\ \dfrac{1}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}\left[ f_{1}f_{11} + f_{1}(f_{2})^{2}f_{11} - f_{1}(f_{2})^{2}f_{11} -(f_{1})^{2}f_{2}f_{21} + (f_{1})^{2}f_{2}f_{12} \right] \\ =&\ \dfrac{1}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}\left[ f_{1}f_{11} \right] \\ =&\ \dfrac{f_{1}f_{11}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1} \end{align*}

固有の性質だけでクリストッフェル記号を計算することは、そうでない場合に比べて複雑であることが分かる。

■

  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p105-106 ↩︎