📂幾何学

クリストッフェル記号は内在的である

要旨¹

クリストッフェル記号 $\Gamma_{ij}^{k}$は次の式を満たす。つまり、固有的である。

$$ \Gamma_{ij}^{k} = \dfrac{1}{2} \sum \limits_{l=1}^{2} g^{lk} \left( \dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u_{i}} - \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u_{l}} + \dfrac{\partial g_{il}}{\partial u_{j}} \right) $$

説明

ガウスが証明した。

クリストッフェル記号はリーマン計量にのみ依存し、法線ベクトルとは無関係である。従って、クリストッフェル記号を使って、曲面を離れずに曲面の構造を理解することができる。

証明

まず、各インデックスに対するリーマン計量係数の偏微分を求めると次のようになる。

$$ \dfrac{\partial g_{il}}{\partial u_{j}} = \dfrac{\partial}{\partial u_{j}} \left\langle \mathbf{x}_{i} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle = \langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \rangle + \langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{lj} \rangle $$

$$ \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u_{l}} = \dfrac{\partial}{\partial u_{l}} \left\langle \mathbf{x}_{i} , \mathbf{x}_{j} \right\rangle = \langle \mathbf{x}_{il} , \mathbf{x}_{j} \rangle + \langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{jl} \rangle $$

$$ \dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u_{i}} = \dfrac{\partial}{\partial u_{i}} \left\langle \mathbf{x}_{l} , \mathbf{x}_{j} \right\rangle = \langle \mathbf{x}_{li} , \mathbf{x}_{j} \rangle + \langle \mathbf{x}_{l}, \mathbf{x}_{ji} \rangle $$

$\mathbf{\mathbf{x}}_{ij} = \mathbf{\mathbf{x}}_{ji}$であるため、

$$ \begin{align*} \dfrac{\partial g_{il}}{\partial u_{j}} - \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u_{l}} + \dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u_{i}} =&\ \langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \rangle + \langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{lj} \rangle - \langle \mathbf{x}_{il} , \mathbf{x}_{j} \rangle - \langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{jl} \rangle + \langle \mathbf{x}_{li} , \mathbf{x}_{j} \rangle + \langle \mathbf{x}_{l}, \mathbf{x}_{ji} \rangle \\ =&\ \langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \rangle + \langle \mathbf{x}_{l}, \mathbf{x}_{ji} \rangle \\ =&\ 2 \langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \rangle \end{align*} $$

従って、クリストッフェル記号は

$$ \Gamma_{ij}^{k} = \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \dfrac{1}{2} \sum \limits_{l=1}^{2} \left( \dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u_{i}} - \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u_{l}} + \dfrac{\partial g_{il}}{\partial u_{j}} \right) g^{lk} $$

例

$\mathbf{x}(u_{1}, u_{2}) = \left( u_{1}, u_{2}, f(u_{1}, u_{2}) \right)$のようなモンジュパッチが与えられたとする。すると

$$ \mathbf{x}_{1} = \partial_{u_{1}}\mathbf{x} = (1,0,f_{1}) \quad \text{and} \quad \mathbf{x}_{2} = (0,1,f_{2}) $$

この時、$f_{i} = \partial_{u_{i}}f$である。$\Gamma_{11}^{1}$は以下の二つの方法で求めることができる。

外的に計算する

$$ \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} = (-f_{1}, -f_{2}, 1) $$

単位法線は

$$ \mathbf{n} = \dfrac{(-f_{1}, -f_{2}, 1)}{\sqrt{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}} $$

ガウスの公式

$$ \mathbf{x}_{ij} = L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{k=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} \mathbf{x}_{k} $$

$\mathbf{x}$の二回微分はガウスの公式により次のようになる。

$$ \mathbf{x}_{11} = (0, 0, f_{11}) = L_{11}\mathbf{n} + \Gamma_{11}^{1}\mathbf{x}_{1} + \Gamma_{11}^{2}\mathbf{x}_{2} $$

従って、第二基本形式の係数は$L_{ij} = \langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \rangle$である

$$ L_{11} = \left\langle (0,0,f_{11}), \dfrac{(-f_{1}, -f_{2}, 1)}{\sqrt{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}}\right\rangle = \dfrac{f_{11}}{\sqrt{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}} $$

$\mathbf{x}_{11}$を成分に分けて詳しく見ると次のようになる。

$$ \mathbf{x}_{11} = (0, 0, f_{11}) = \dfrac{L_{11}}{\sqrt{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}}(-f_{1}, -f_{2}, 1) + \Gamma_{11}^{1}(1,0,f_{1}) + \Gamma_{11}^{2}(0,1,f_{2}) $$

最初の成分を見ると、次の式を得る。

$$ \begin{align*} && 0 =&\ \dfrac{L_{11}(-f_{1})}{\sqrt{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}} + \Gamma_{11}^{1} \\[1em] \implies&& \Gamma_{11}^{1} =&\ \dfrac{L_{11}(f_{1})}{\sqrt{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}} \\[1em] \implies&& \Gamma_{11}^{1} =&\ \dfrac{f_{1} f_{11}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1} \end{align*} $$

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固有に計算する

上述の定理によると、$\Gamma_{11}^{1}$は次のように計算できる。

$$ \begin{align*} \Gamma_{11}^{1} =&\ \dfrac{1}{2} \sum \limits_{l=1}^{2} g^{l1} \left( \dfrac{\partial g_{l1}}{\partial u_{1}} - \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{l}} + \dfrac{\partial g_{1l}}{\partial u_{1}} \right) \\ =&\ \dfrac{1}{2} \left[ g^{11} \left( \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} - \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} + \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} \right) + g^{21} \left( \dfrac{\partial g_{21}}{\partial u_{1}} - \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{2}} + \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{1}} \right) \right] \\ =&\ \dfrac{1}{2} \left[ g^{11} \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} + 2g^{21}\dfrac{\partial g_{21}}{\partial u_{1}} - g^{21}\dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{2}} \right] \end{align*} $$

第一基本形式の係数は$g_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle$である

$$ \left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1+(f_{1})^{2} & f_{1}f_{2} \\[1em] f_{1}f_{2} & 1 + (f_{2})^{2} \end{bmatrix} $$

逆行列は

$$ \left[ g_{ij} \right]^{-1} = \left[ g^{lk} \right] = \dfrac{1}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}\begin{bmatrix} 1+(f_{2})^{2} & -f_{1}f_{2} \\[1em] -f_{1}f_{2} & 1 + (f_{1})^{2} \end{bmatrix} $$

必要なものを集めると次のようになる。

$$ \begin{align*} \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} =&\ \dfrac{\partial }{\partial u_{1}}\left( 1+ (f_{1})^{2} \right) = 2f_{1}f_{11} \\ \dfrac{\partial g_{21}}{\partial u_{1}} =&\ \dfrac{\partial }{\partial u_{1}}\left( f_{1}f_{2} \right) = f_{11}f_{2} + f_{1}f_{21} \\ \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{2}} =&\ \dfrac{\partial }{\partial u_{2}}\left( 1+ (f_{1})^{2} \right) = 2f_{1}f_{12} \end{align*} $$

そして

$$ \begin{align*} g^{11} =&\ \dfrac{1+(f_{2})^{2}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1} \\ g^{21} =&\ \dfrac{-f_{1}f_{2}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1} \end{align*} $$

代入してみると次のようになる。

$$ \begin{align*} \Gamma_{11}^{1} =&\ \dfrac{1}{2} \left[ g^{11} \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} + 2g^{21}\dfrac{\partial g_{21}}{\partial u_{1}} - g^{21}\dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{2}} \right] \\ =&\ \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{1+(f_{2})^{2}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1} 2f_{1}f_{11} + 2\dfrac{-f_{1}f_{2}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1} \left( f_{11}f_{2} + f_{1}f_{21} \right)- \dfrac{-f_{1}f_{2}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}2f_{1}f_{12} \right] \\ =&\ \dfrac{1}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}\left[ \left( 1+(f_{2})^{2} \right)f_{1}f_{11} + \left( -f_{1}f_{2} \right) \left( f_{11}f_{2} + f_{1}f_{21} \right)- (-f_{1}f_{2})f_{1}f_{12} \right] \\ =&\ \dfrac{1}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}\left[ f_{1}f_{11} + f_{1}(f_{2})^{2}f_{11} - f_{1}(f_{2})^{2}f_{11} -(f_{1})^{2}f_{2}f_{21} + (f_{1})^{2}f_{2}f_{12} \right] \\ =&\ \dfrac{1}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1}\left[ f_{1}f_{11} \right] \\ =&\ \dfrac{f_{1}f_{11}}{(f_{1})^{2} + (f_{2})^{2} + 1} \end{align*} $$

固有の性質だけでクリストッフェル記号を計算することは、そうでない場合に比べて複雑であることが分かる。

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