シルバー・ミュラー放射条件

定義¹

$E$を電気場としよう。次の式をシルバー・ミュラー放射条件^{Silver-Mueller radiation condition}という。$x\in \mathbb{R}^{3}, r = \left| x \right|$の時、

$$\lim \limits_{r \to \infty} r \left[ (\nabla \times E) \times x - r E \right] = 0$$

説明

シルバー・ミュラー放射条件は、電磁波の散乱問題で電磁波が満たすべき必要条件である。

説明

ゾンマーフェルト放射条件は、ヘルムホルツ方程式の物理的に可能な解が満たすべき条件として、1912年にドイツの物理学者ゾンマーフェルトが論文Die greensche Funktion der Schwingungsgleichung（振動方程式のグリーン関数）を通じて提案したものである。言い換えれば、ヘルムホルツ方程式の解がゾンマーフェルト放射条件を満たさない場合、実際に意味がないとされる。

この条件は、波が波源から離れなければならないことを意味している。つまり、波は前進のみして、戻ってはならないということだ。湖に石を投げる場面を想像してみよう。すると、石が湖に落ちたその地点を中心に、波紋が広がるだろう。実際には、波紋が突然Uターンして中心方向に逆戻りすることは決してないとわかる。

ゾンマーフェルト放射条件は、上記のシナリオを満たすように解に制約を加えるものだ。ある$u(x)$が数学的にはヘルムホルツ方程式の解になるかもしれないが、それが逆方向に動く波を描写する関数であれば、物理的な意味を持たない。この条件を簡単な場面で実際に適用してみよう。

例示

$u(r)$を[球面波]とすると、次の2つの解がヘルムホルツ方程式$\Delta u + k^{2}u=0$の解となる。

$$\begin{equation} u(r) = \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \end{equation}$$

代入してみると、簡単に確認できる。球面座標系でのラプラシアンは以下の通りだ。

$$\nabla ^{2} u = \Delta u = \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^{2}\frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} \phi}$$

$u$が球面波とされているので、角度には関係なく、ラプラシアンでは半径に関する項のみ残る。

$$\nabla ^{2} u = \Delta u = \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{d r} \left( r^{2}\frac{d u}{d r} \right) = \dfrac{2}{r}\dfrac{du}{dr} + \dfrac{d^{2}u}{dr^{2}}$$

ここで、ヘルムホルツ方程式に$(1)$を代入すれば、解であることがわかる。

$$\begin{align*} & \Delta u + k^{2}u \\ =&\ \dfrac{2}{r}\dfrac{du}{dr} + \dfrac{d^{2}u}{dr^{2}} + k^{2}u \\ =&\ \dfrac{2}{r}\dfrac{d}{dr}\left( \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \right) + \dfrac{d^{2}}{dr^{2}}\left( \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \right) + k^{2}\left( \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \right) \\ =&\ \left( \pm 2ik\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} -2\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}} \right) + \dfrac{d}{dr}\left( \pm ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} - \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} \right) + k^{2}\dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \\ =&\ \left( \pm 2ik\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} -2\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}} \right) + \left( - k^{2} \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \mp ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} \mp ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} +2 \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}} \right) + k^{2}\dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \\ =&\ \left( {\color{red}\cancel{\color{black}\pm 2ik\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}}}} {\color{blue}\bcancel{\color{black}-2\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}}}} \right) + \left( {\color{green}\cancel{\color{black}- k^{2} \dfrac{e^{\pm ikr}}{r}}} {\color{red}\cancel{\color{black}\mp ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}}}} {\color{red}\cancel{\color{black}\mp ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}}}} +{\color{blue}\bcancel{\color{black}2 \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}}}} \right) {\color{green}\cancel{\color{black}+ k^{2}\dfrac{e^{\pm ikr}}{r} }} \\ =&\ 0 \end{align*}$$

この文脈では、複素波動関数の中で$u_{+}(r)=\dfrac{e^{ikr}}{r}$は$r$が増加する方向へ進行する波であり、$u_{-}(r)=\dfrac{e^{-ikr}}{r}$は$r$が減少する方向へ進行する波だ。したがって、$u_{+}$はまっすぐ進む波、$u_{-}$は逆方向に進む波を意味する。$u_{+}$だけが放射条件を満たす場合、放射条件が物理的な解の性質をよく説明していると言える。次のように確認できる。

$$\begin{align*} \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{du_{+}}{dr} - ik u_{+} \right) =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{d}{dr}\dfrac{e^{ikr}}{r} - ik \dfrac{e^{ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( ik\dfrac{e^{ikr}}{r} - \dfrac{e^{ikr}}{r^{2}} - ik \dfrac{e^{ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( - \dfrac{e^{ikr}}{r^{2}} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} - \dfrac{e^{ikr}}{r} \\ =&\ - \lim \limits_{r \to \infty} \dfrac{\cos kr + i \sin kr}{r} \\ =&\ 0 \end{align*}$$

したがって、$u_{+}$は放射条件を満たす。

$$\begin{align*} \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{du_{-}}{dr} - ik u_{-} \right) =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{d}{dr}\dfrac{e^{-ikr}}{r} - ik \dfrac{e^{-ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( -ik\dfrac{e^{-ikr}}{r} - \dfrac{e^{-ikr}}{r^{2}} - ik \dfrac{e^{-ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} \left( -2ike^{-ikr} - \dfrac{e^{-ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} \left( -2ike^{-ikr} \right) - \lim \limits_{r \to \infty} \left( \dfrac{e^{-ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} \left( -2ike^{-ikr} \right) \\ =&\ -2ik\lim \limits_{r \to \infty} \left( \cos kr -i \sin kr \right) \end{align*}$$

上記の式が発散するので、$u_{-}$は放射条件を満たさない。