📂幾何学

微分幾何学におけるガウスの定理

整理¹

$\mathbf{x} : U \to \R^{3}$を座標パッチと言おう。$(u_{1}, u_{2})$を$U$の座標としよう。

$\mathbf{n}$を単位ノーマル、$L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle$を第2基本形式の係数、$\Gamma_{ij}^{k} = \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk}$をクリストッフェル記号としよう。

すると、次が成り立つ。

(a) ガウスの公式^{Gauss’s formulas}:

$$ \mathbf{x}_{ij} = L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{k=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} \mathbf{x}_{k} $$

(b) 任意の単位速度曲線$\boldsymbol{\gamma}(s) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(s), \gamma^{2}(s) \right)$に対して、

$$ \kappa_{n} = \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} L_{ij} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} $$

そして

$$ \kappa_{g}\mathbf{S} = \sum \limits_{k=1}^{2} \left[ u_{k}^{\prime \prime} + \sum \limits_{i,j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime} \right] \mathbf{x}_{k} $$

この時、$\kappa_{n}$は法曲率、$\kappa_{g}$は測地曲率、そして$\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \mathbf{T}$である。

説明

事実、(a)は$L_{ij}$と$\Gamma_{ij}^{k}$の定義そのものである。

(a)の結果から、次の式を得る。

$$ \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle = \sum \limits_{k=1}^{2}\Gamma_{ij}^{k}g_{kl} $$

これを第1クリストッフェル記号と言う。

証明

(a)

単位ノーマルは接空間に垂直であり、$\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$は接空間の基底なので$\left\{ \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$は$\R^{3}$の基底になる。したがって、$\R^{3}$のすべてのベクトルはこれらの線形結合で表せる。今、$\mathbf{x}_{ij}$を以下のように表そう。

$$ \mathbf{x}_{ij} = a_{ij}\mathbf{n} + {b_{ij}}^{1}\mathbf{x}_{1} + {b_{ij}}^{2}\mathbf{x}_{2} $$

したがって、$\left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{n} \right\rangle=0$であるので、第2基本形式係数の定義により

$$ L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle = \left\langle a_{ij}\mathbf{n} + {b_{ij}}^{1}\mathbf{x}_{1} + {b_{ij}}^{2}\mathbf{x}_{2}, \mathbf{n} \right\rangle = a_{ij} $$

また、リーマンメトリックの係数は、以下のように定義される。

$$ \begin{align*} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle =&\ \left\langle a_{ij}\mathbf{n} + {b_{ij}}^{1}\mathbf{x}_{1} + {b_{ij}}^{2}\mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ &= {b_{ij}}^{1} \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle + {b_{ij}}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ &= {b_{ij}}^{1} g_{1l} + {b_{ij}}^{2} g_{2l} \\ &= \sum \limits_{m=1}^{2} {b_{ij}}^{m} g_{ml} \\ &= {b_{ij}}^{m} g_{ml} \quad (\text{Einstein notation}) \end{align*} $$

したがって、$[g^{lk}]$は$[g_{ij}]$の逆行列であるので、次の式が成り立つ。

$$ \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \sum \limits_{m=1}^{2} {b_{ij}}^{m} g_{ml}g^{lk} $$

左辺をすべての$l$に対して足すとクリストッフェル記号である。リーマンメトリックに対して$g_{ik}g^{kj} = {\delta_{i}}^{j}$が成り立つので、

$$ \Gamma_{ij}^{k} = \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \sum \limits_{l=1}^{2} \sum \limits_{m=1}^{2} {b_{ij}}^{m} g_{ml}g^{lk} = \sum \limits_{m=1}^{2} {b_{ij}}^{m} {\delta_{m}}^{k} = {b_{ij}}^{k} $$

したがって、

$$ \begin{align*} \mathbf{x}_{ij} =&\ a_{ij}\mathbf{n} + {b_{ij}}^{1}\mathbf{x}_{1} + {b_{ij}}^{2}\mathbf{x}_{2} \\ =&\ L_{ij} \mathbf{n} + {\Gamma_{ij}}^{1} \mathbf{x}_{1} + {\Gamma_{ij}}^{2} \mathbf{x}_{2} \\ =&\ L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{k=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} \mathbf{x}_{k} \end{align*} $$

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(b)

• Part 1. $\boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime}$の計算

  $\boldsymbol{\gamma}(s) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(s), \gamma^{2}(s) \right)$の接ベクトルを計算すると、次のようになる。

  $$ \begin{align*} T(s) =&\ \dfrac{d \boldsymbol{\gamma}}{d s} \\ =&\ \dfrac{d}{ds} \mathbf{x}(\gamma^{1}, \gamma^{2}) \\ =&\ \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \gamma^{1}}\dfrac{d \gamma^{1}}{ds} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \gamma^{2}}\dfrac{d \gamma^{2}}{ds}& \text{by } \href{https://freshrimpsushi.github.io/posts/derivative-of-three-dimentional-scalar-vector-function}{\text{chain rule}} \\ =&\ \mathbf{x}_{1}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{2}(\gamma^{2})^{\prime} \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{2}\mathbf{x}_{i}(\gamma^{i})^{\prime} \\ =&\ \mathbf{x}_{i}(\gamma^{i})^{\prime} \end{align*} $$

  最後の等号ではアインシュタインの表記法を使用した。加速度を計算してみよう。アインシュタインの記法と微分演算に慣れている人なら、以下のように一発で計算できる。

  $$ \boldsymbol{\gamma} ^{\prime \prime} = \dfrac{d}{ds}\left( \mathbf{x}_{i}(\gamma^{i})^{\prime} \right) = \mathbf{x}_{ij}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime} + \mathbf{x}_{i}(\gamma^{i})^{\prime \prime} = \sum \limits_{i=1}^{2}\left( \sum\limits_{j=1}^{2}\mathbf{x}_{ij}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime} + \mathbf{x}_{i}(\gamma^{i})^{\prime \prime} \right) $$

  アインシュタインの記法に慣れていない人のために、計算過程をできるだけ詳細に書くと、次のようになる。

  $$ \begin{align*} \boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime} =&\ \dfrac{d}{ds} \left( \mathbf{x}_{1}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{2}(\gamma^{2})^{\prime} \right) \\ =&\ \dfrac{d}{ds} \left( \mathbf{x}_{1}(\gamma^{1})^{\prime} \right) +\dfrac{d}{ds} \left( \mathbf{x}_{2}(\gamma^{2})^{\prime} \right) \\ =&\ \dfrac{d}{ds} \left( \mathbf{x}_{1} \right) (\gamma^{1})^{\prime} +\mathbf{x}_{1} \dfrac{d}{ds} \left( (\gamma^{1})^{\prime} \right) + \dfrac{d}{ds} \left( \mathbf{x}_{2} \right) (\gamma^{2})^{\prime} +\mathbf{x}_{2} \dfrac{d}{ds} \left( (\gamma^{2})^{\prime} \right) \\ =&\ \left( \dfrac{\partial \mathbf{x}_{1}}{\partial \gamma^{1}}\dfrac{d \gamma^{1}}{ds} + \dfrac{\partial \mathbf{x}_{1}}{\partial \gamma^{2}}\dfrac{d \gamma^{2}}{ds} \right) (\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{1} (\gamma^{1})^{\prime \prime} + \left( \dfrac{\partial \mathbf{x}_{2}}{\partial \gamma^{1}}\dfrac{d \gamma^{1}}{ds} + \dfrac{\partial \mathbf{x}_{2}}{\partial \gamma^{2}}\dfrac{d \gamma^{2}}{ds} \right) (\gamma^{2})^{\prime} + \mathbf{x}_{2} (\gamma^{2})^{\prime \prime} \\ =&\ \left( \mathbf{x}_{11}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{12}(\gamma^{2})^{\prime} \right)(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{1} (\gamma^{1})^{\prime \prime} + \left( \mathbf{x}_{21}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{22}(\gamma^{2})^{\prime} \right)(\gamma^{2})^{\prime} + \mathbf{x}_{2} (\gamma^{2})^{\prime \prime} \\ =&\ \mathbf{x}_{11}(\gamma^{1})^{\prime}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{12}(\gamma^{2})^{\prime}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{1} (\gamma^{1})^{\prime \prime} + \mathbf{x}_{21}(\gamma^{1})^{\prime}(\gamma^{2})^{\prime} + \mathbf{x}_{22}(\gamma^{2})^{\prime}(\gamma^{2})^{\prime} + \mathbf{x}_{2} (\gamma^{2})^{\prime \prime} \\ =&\ \left( \mathbf{x}_{11}(\gamma^{1})^{\prime}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{12}(\gamma^{2})^{\prime}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{21}(\gamma^{1})^{\prime}(\gamma^{2})^{\prime} + \mathbf{x}_{22}(\gamma^{2})^{\prime}(\gamma^{2})^{\prime} \right) + \mathbf{x}_{1} (\gamma^{1})^{\prime \prime} + \mathbf{x}_{2} (\gamma^{2})^{\prime \prime} \\ =&\ \sum \limits_{j=1}^{2}\left( \mathbf{x}_{1j}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{2j}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{2})^{\prime} \right) + \mathbf{x}_{1} u_{1}^{\prime \prime} + \mathbf{x}_{2} (\gamma^{2})^{\prime \prime} \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{2} \left(\sum \limits_{j=1}^{2} \mathbf{x}_{ij}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime} + \mathbf{x}_{i} (\gamma^{i})^{\prime \prime} \right) \\ =&\ \mathbf{x}_{ij}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime} + \mathbf{x}_{i} (\gamma^{i})^{\prime \prime} \end{align*} $$

• Part 2.

  $\boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime}$にガウスの公式 (a)を代入すると、

  $$ \begin{align*} \boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime} (s) &= \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} \mathbf{x}_{ij} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} + \sum \limits_{k=1}^{2} \mathbf{x}_{k} (\gamma^{k})^{\prime \prime} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} \left( L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{k=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} \mathbf{x}_{k} \right) (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} + \sum \limits_{k=1}^{2} \mathbf{x}_{k} (\gamma^{k})^{\prime \prime} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} L_{ij} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} \mathbf{n} + \sum \limits_{k=1}^{2}\left( (\gamma^{k})^{\prime \prime} + \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} \right)\mathbf{x}_{k} \end{align*} $$

  しかし、$\boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime} = \kappa_{n}\mathbf{n} + \kappa_{g}\mathbf{S}$のように表されるので

  $$ \kappa_{n} = \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} L_{ij} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} $$

  $$ \kappa_{g}\mathbf{S} = \sum \limits_{k=1}^{2}\left( (\gamma^{k})^{\prime \prime} + \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} \right)\mathbf{x}_{k} $$

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