📂古典力学

円運動

定義

円運動^{circular motion}とは、1つの質点が基準点から一定の距離を保ちつつ円軌道を描く運動をいう。

説明

紐に吊るした物体をぐるぐる回すことが円運動の代表的な例である。円運動を記述する際には角速度を導入すると便利だ。半径が $r$ の円軌道上を運動する質点が $x$ 軸からの偏角を $\theta$ とする。時間に対する $\theta$ の変化を 角速度^{angular velocity} と呼び、通常 $\omega$ と表す。

$$ \omega = \dfrac{d \theta}{d t} $$

等速円運動

速さが一定の円運動を 等速円運動^{uniform circular motion}という。速度が一定の運動ではない点に注意する。

等速円運動は興味深い性質を持つ。すなわち、速さは一定であるが加速度が存在し、速度の方向が継続的に変化するということである。質点が円を一周するのに要する時間 $T$ を 周期^period とすると角速度は次の通りである。

$$ \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{d\theta}{dt} = \dot{\theta} $$

極座標系における線速度は以下の通りである。

$$ \mathbf{v} = \dot{r}\hat{\mathbf{r}} + r\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} $$

半径は一定なので $\dot{r} = 0$ である。したがって線速度と角速度の関係は次の通りである。

$$ \mathbf{v} = r\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} = r \omega \hat{\boldsymbol{\theta}}, \quad v = | \mathbf{v} | = r\omega $$

極座標系における線加速度は以下の通りである。

$$ \mathbf{a} = (\ddot r -r\dot{\theta}^{2})\hat{\mathbf{r}} + (2\dot{r} \dot{\theta} + r\ddot{\theta})\hat{\boldsymbol{\theta}} $$

ここで $\dot{r} = 0$ であり、等速円運動なので $\ddot{\theta} = \dot{\omega} = 0$ である。したがって等速円運動における質点の加速度は次の通りである。

$$ \mathbf{a} = -r\dot{\theta}^{2}\hat{\mathbf{r}} = -r\omega^{2}\hat{\mathbf{r}}, \quad a = |\mathbf{a}| = r\omega^{2} $$