単純曲面上の媒介変数曲線
定義1 2
$\mathbf{x} : U \to \R^{3}$を単純な表面としよう。$U$の座標を$(u, v)$としよう。ある点$(u_{0}, v_{0})$において、以下の曲線を$v = v_{0}$での$\mathbf{x}$の**$u-$パラメータ曲線**$u-$parameter curveとする。
$$ u \mapsto \mathbf{x}(u, v_{0}) $$
以下のような曲線を$u = u_{0}$での$\mathbf{x}$の**$v-$パラメータ曲線**$v-$parameter curveとする。
$$ v \mapsto \mathbf{x}(u_{0}, v) $$
点$(u_{0}, v_{0})$での二つのパラメータ曲線の速度ベクトル$\dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u} = \mathbf{x}_{u}=\mathbf{x}_{1}$、$\dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial v} = \mathbf{x}_{v}=\mathbf{x}_{2}$を$(u_{0}, v_{0})$での$\mathbf{x}$の偏速度ベクトルpartial velocity vectorとする。
説明
$U$の座標は$(u^{1}, u^{2})$としてもよく書かれるので、上で述べた二つの曲線をそれぞれ$u^{1}$曲線、$u^{2}$曲線ともいう。
定義により、表面$\mathbf{x}$はそのようなパラメータ曲線のファミリーによってカバーされていることがわかる。
これら二つのパラメータ曲線によって形成される格子を曲線座標系curvilinear coordinate systemという。球座標系や円筒座標系がこれに該当する。