偏微分方程式における境界値問題
定義
開集合$\Omega$で定義された偏微分方程式が与えられたとしよう。$\Omega$の境界である$\partial \Omega$で未知数$u$の値が与えられたとする。これを境界条件boundary conditionという。偏微分方程式と境界条件を合わせて境界値問題boundary value problemという。
説明
略称のBVPがよく使われる。
境界値問題を解くとは、与えられた偏微分方程式で境界条件を満たす解$u$を見つけることを意味する。
例
$$ u = 0 \quad \text{on } \partial \Omega $$
$$ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{on } \partial \Omega $$
この時、$\nu$は外向き単位法線ベクトルだ。
混合ディリクレ-ノイマン境界条件mixed boundary conditions1
$\partial \Omega$が二つの異なる閉集合$\Gamma_{1}$、$\Gamma_{2}$を含む場合、
$$ \begin{align*} u = 0& \quad \text{on } \partial \Gamma_{1} \\ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0& \quad \text{on } \partial \Gamma_{2} \end{align*} $$
$$ u + \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{on } \partial \Omega $$
関連項目