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第1 基本形式、リーマン計量 📂幾何学

第1 基本形式、リーマン計量

ビルドアップ

リーマン計量は、表面上の曲線の長さを計算する過程から出てくる概念であり、その過程は次の通りです。

α(t)\boldsymbol{\alpha}(t)を単純曲面x:U→R3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}上を動く正則曲線としよう。(u1,u2)(u_{1}, u_{2})をUUの座標としよう。すると、α\boldsymbol{\alpha}は次のように表される。

α(t)=x(u1(t),u2(t)) \boldsymbol{\alpha}(t) = \mathbf{x}(u_{1}(t), u_{2}(t))

この時点で、a≤t≤ba \le t \le bでのα\boldsymbol{\alpha}の長さは次のように定義される。

∫ab∣dαdt∣dt \int_{a}^{b} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| dt

被積分関数を展開すると、次のようになる。

∣dαdt∣= ⟨dαdt,dαdt⟩= ⟨dx(u1,u2)dt,dx(u1,u2)dt⟩ \begin{align*} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| =&\ \sqrt{\left\langle \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} , \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right\rangle} \\ =&\ \sqrt{\left\langle \dfrac{d \mathbf{x}(u_{1}, u_{2})}{d t} , \dfrac{d \mathbf{x}(u_{1}, u_{2})}{d t} \right\rangle} \end{align*}

連鎖律により、

∣dαdt∣= ⟨∂x∂u1du1dt+∂x∂u2du2dt,∂x∂u1du1dt+∂x∂u2du2dt⟩= ⟨x1du1dt+x2du2dt,x1du1dt+x2du2dt⟩ \begin{align*} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| =&\ \sqrt{\left\langle \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{1}}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{2}}\dfrac{d u_{2}}{dt}, \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{1}}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{2}}\dfrac{d u_{2}}{dt} \right\rangle} \\ =&\ \sqrt{\left\langle \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt}, \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt} \right\rangle} \end{align*}

この時点で、x1:=∂x∂u1,x2:=∂x∂u2\mathbf{x}_{1} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{1}}, \mathbf{x}_{2} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{2}}だ。内積を展開して整理すると、

∣dαdt∣= ⟨x1du1dt+x2du2dt,x1du1dt+x2du2dt⟩= (du1dt)2⟨x1,x1⟩+du1dtdu2dt⟨x1,x2⟩+du2dtdu1dt⟨x2,x1⟩+(du2dt)2⟨x2,x2⟩ \begin{align*} & \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| \\ =&\ \sqrt{\left\langle \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt}, \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt} \right\rangle} \\ =&\ \sqrt{\left( \dfrac{d u_{1}}{dt} \right)^{2} \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle + \dfrac{d u_{1}}{dt}\dfrac{d u_{2}}{dt} \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle + \dfrac{d u_{2}}{dt}\dfrac{d u_{1}}{dt} \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle + \left( \dfrac{d u_{2}}{dt} \right)^{2} \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle} \end{align*}

ここで、上記の内積をgij=⟨xi,xj⟩g_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right\rangleと表し、∑\sumと整理すると、次のようになる。

∣dαdt∣= ∑i=12∑j=12gijduidtdujdt= gijduidtdujdt \begin{align*} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| =&\ \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^{2}\sum \limits_{j=1}^{2} g_{ij} \dfrac{d u_{i}}{dt}\dfrac{d u_{j}}{dt}} \\ =&\ \sqrt{ g_{ij} \dfrac{d u_{i}}{dt}\dfrac{d u_{j}}{dt}} \end{align*}

二番目の等号で、アインシュタインの記法を使用して和記号を省略した。

定義1

gij=⟨xi,xj⟩g_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right\rangleは、リーマン計量の係数the coefficient of the Riemannian metricまたは第一基本形式the first fundamental formの係数と呼ばれる。

MMをR3\mathbb{R}^{3}での曲面、p∈Mp \in Mとしよう。X,Y\mathbf{X}, \mathbf{Y}をppでの接ベクトルとしよう。すると、MMの固有切断写像x:U→R3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}に対して次のように表される。

X=X1x1+X2x2andY=Y1x1+Y2x2 \mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2} \quad \text{and} \quad \mathbf{Y} = Y^{1}\mathbf{x}_{1} + Y^{2}\mathbf{x}_{2}

次のような双線形形式IIを曲面x\mathbf{x}のリーマン計量Riemannian metricまたは第一基本形式the first fundamental formと定義する。

I:TpM×TpM→R I : T_{p}M \times T_{p}M \to \mathbb{R}

I(X,Y)=∑i=12∑j=12gijXiYj=gijXiYj=[X1X2][g11g12g21g22][Y1Y2] I (\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} g_{ij}X^{i}Y^{j} = g_{ij}X^{i}Y^{j} = \begin{bmatrix} X^{1} & X^{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y^{1} \\ Y^{2}\end{bmatrix}

係数の行列[gij]\left[ g_{ij} \right]の行列式をggと表記する。

g:=det⁡([gij])=∣g11g12g21g22∣=g11g22−g12g21 g := \det (\left[ g_{ij} \right]) = \begin{vmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22}\end{vmatrix} = g_{11}g_{22} - g_{12}g_{21}

行列[gij]\left[ g_{ij} \right]の逆行列の(k,l)(k,l)成分をgklg^{kl}と表記する。

(g11g12g21g22)−1= 1det⁡[gij](g22−g21g12g22)=1g(g22−g21g12g22)= (g22g−g21g−g12gg11g)= (g11g12g21g22) \begin{align*} \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} ^{-1} =&\ \dfrac{1}{\det \left[ g_{ij} \right]} \begin{pmatrix} g_{22} & - g_{21} \\ g_{12} & g_{22} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{g} \begin{pmatrix} g_{22} & - g_{21} \\ g_{12} & g_{22} \end{pmatrix} \\[1em] =&\ \begin{pmatrix}\dfrac{g_{22}}{g} & - \dfrac{g_{21}}{g} \\[1em] -\dfrac{g_{12}}{g} & \dfrac{g_{11}}{g} \end{pmatrix} \\[1em] =&\ \begin{pmatrix} g^{11} & g^{12} \\[1em] g^{21} & g^{22} \end{pmatrix} \end{align*}

説明

最近は第一基本形式という言葉はほとんど使われず、リーマン計量という言葉だけが主に使われるという。計量という名前がついたのは、ビルドアップで見たように、表面上の曲線の長さを測るために使うからである。

E=g11E = g_{11}、F=g21=g12F=g_{21}=g_{12}、G=g22G=g_{22}のような表記も多く使われる。

曲線理論では登場しなかったリーマン計量という概念が出てくる理由は、接空間の基底{x1,x2}\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}が一般的に正規直交基底ではないからである。正規直交基底ならばgij=δijg_{ij} = \delta_{ij}であり、意味がない。ここで、δ\deltaはクロネッカーデルタである。リーマン計量とアインシュタインの記法を使用して、表面上の曲線α\boldsymbol{\alpha}の長さを表すと、次のようになる。

L(α)= length of α= ∫abgijduidtdujdtdt= ∫abgijαi′αj′dt= ∫abE(du1dt)2+2Fdu1dtdu2dt+G(du2dt)2dt \begin{align*} L (\boldsymbol{\alpha}) =&\ \text{length of } \boldsymbol{\alpha} \\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ g_{ij} \dfrac{d u_{i}}{dt}\dfrac{d u_{j}}{dt}} dt \\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ g_{ij} \alpha_{i}^{\prime} \alpha_{j}^{\prime} } dt \\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ E\left( \dfrac{d u_{1}}{dt} \right)^{2} + 2F\dfrac{d u_{1}}{dt}\dfrac{d u_{2}}{dt} + G\left( \dfrac{d u_{2}}{dt} \right)^{2}} dt \end{align*}

表面の面積も、リーマン計量の積分によって定義される。

  • 単純曲面x\mathbf{x}上のある領域RRについて、Q=x−1(R)Q = \mathbf{x}^{-1}(R)とする。つまり、Q⊂U⊂R2Q \subset U \subset \R^{2}である。すると、RRの面積は次のようになる。

area of R=∬Qgdu1du2=∬Q∣x1×x2∣du1du2=∬QEG−F2du1du2 \text{area of } R = \iint _{Q} \sqrt{g} du_{1}du_{2} = \iint _{Q} \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right| du_{1}du_{2} = \iint _{Q} \sqrt{EG-F^{2}} du_{1}du_{2}

性質

単純曲面x:U→R3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}に対して、

(a) g=∣x1×x2∣2g = \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|^{2}

(b) g11=g22gandg12=g21=−g12gandg22=g11gg^{11} = \dfrac{g_{22}}{g} \quad \text{and} \quad g^{12} = g^{21} = -\dfrac{g_{12}}{g} \quad \text{and} \quad g^{22} = \dfrac{g_{11}}{g}

(c) ∀i,j\forall i,j、∑k=12gikgkj=δij\sum \limits_{k=1}^{2} g_{ik}g^{kj} = {\delta_{i}}^{j}

ここで、δ\deltaはクロネッカーデルタである。

証明

(a)

外積の性質とリーマン計量の定義により、次が成立する。

∣x1×x2∣2= ∣x1∣2∣x2∣2sin⁡2θ= ∣x1∣2∣x2∣2(1−cos⁡2θ)= ∣x1∣2∣x2∣2(1−x1⋅x2∣x1∣∣x2∣)= ∣x1∣2∣x2∣2−(x1⋅x2)2= g11g22−g12g21= det⁡([gij])= g \begin{align*} \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|^{2} =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2} \sin ^{2} \theta \\ =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2}\left(1- \cos ^{2} \theta \right) \\ =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2}\left(1- \dfrac{\mathbf{x}_{1} \cdot \mathbf{x}_{2}}{\left| \mathbf{x}_{1} \right| \left| \mathbf{x}_{2} \right| } \right) \\ =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2} - \left( \mathbf{x}_{1} \cdot \mathbf{x}_{2} \right)^{2} \\ =&\ g_{11}g_{22} - g_{12}g_{21} \\ =&\ \det( [g_{ij}] ) \\ =&\ g \end{align*}

■

(b)

定義どおりだ。

■

(c)

[gkl][g^{kl}]が[gij][g_{ij}]の逆行列であるので、自然に成立する。

(1001)= (g11g12g21g22)(g11g12g21g22)= (g11g11+g12g21g11g12+g12g22g21g11+g22g21g21g12+g22g22) \begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =&\ \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{11} & g^{12} \\ g^{21} & g^{22} \end{pmatrix} \\[1em] =&\ \begin{pmatrix} g_{11}g^{11}+g_{12}g^{21} & g_{11}g^{12} + g_{12}g^{22} \\[1em] g_{21}g^{11} + g_{22}g^{21} & g_{21}g^{12} + g_{22}g^{22} \end{pmatrix} \end{align*}

■

関連項目

  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p93-96 ↩︎