📂幾何学

第1 基本形式、リーマン計量

ビルドアップ

リーマン計量は、表面上の曲線の長さを計算する過程から出てくる概念であり、その過程は次の通りです。

$\boldsymbol{\alpha}(t)$を単純曲面$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$上を動く正則曲線としよう。$(u_{1}, u_{2})$を$U$の座標としよう。すると、$\boldsymbol{\alpha}$は次のように表される。

$$ \boldsymbol{\alpha}(t) = \mathbf{x}(u_{1}(t), u_{2}(t)) $$

この時点で、$a \le t \le b$での$\boldsymbol{\alpha}$の長さは次のように定義される。

$$ \int_{a}^{b} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| dt $$

被積分関数を展開すると、次のようになる。

$$ \begin{align*} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| =&\ \sqrt{\left\langle \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} , \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right\rangle} \\ =&\ \sqrt{\left\langle \dfrac{d \mathbf{x}(u_{1}, u_{2})}{d t} , \dfrac{d \mathbf{x}(u_{1}, u_{2})}{d t} \right\rangle} \end{align*} $$

連鎖律により、

$$ \begin{align*} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| =&\ \sqrt{\left\langle \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{1}}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{2}}\dfrac{d u_{2}}{dt}, \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{1}}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{2}}\dfrac{d u_{2}}{dt} \right\rangle} \\ =&\ \sqrt{\left\langle \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt}, \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt} \right\rangle} \end{align*} $$

この時点で、$\mathbf{x}_{1} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{1}}, \mathbf{x}_{2} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{2}}$だ。内積を展開して整理すると、

$$ \begin{align*} & \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| \\ =&\ \sqrt{\left\langle \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt}, \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt} \right\rangle} \\ =&\ \sqrt{\left( \dfrac{d u_{1}}{dt} \right)^{2} \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle + \dfrac{d u_{1}}{dt}\dfrac{d u_{2}}{dt} \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle + \dfrac{d u_{2}}{dt}\dfrac{d u_{1}}{dt} \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle + \left( \dfrac{d u_{2}}{dt} \right)^{2} \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle} \end{align*} $$

ここで、上記の内積を$g_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle$と表し、$\sum$と整理すると、次のようになる。

$$ \begin{align*} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| =&\ \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^{2}\sum \limits_{j=1}^{2} g_{ij} \dfrac{d u_{i}}{dt}\dfrac{d u_{j}}{dt}} \\ =&\ \sqrt{ g_{ij} \dfrac{d u_{i}}{dt}\dfrac{d u_{j}}{dt}} \end{align*} $$

二番目の等号で、アインシュタインの記法を使用して和記号を省略した。

定義¹

$g_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle$は、リーマン計量の係数^{the coefficient of the Riemannian metric}または第一基本形式^{the first fundamental form}の係数と呼ばれる。

$M$を$\mathbb{R}^{3}$での曲面、$p \in M$としよう。$\mathbf{X}, \mathbf{Y}$を$p$での接ベクトルとしよう。すると、$M$の固有切断写像$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$に対して次のように表される。

$$ \mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2} \quad \text{and} \quad \mathbf{Y} = Y^{1}\mathbf{x}_{1} + Y^{2}\mathbf{x}_{2} $$

次のような双線形形式$I$を曲面$\mathbf{x}$のリーマン計量^{Riemannian metric}または第一基本形式^{the first fundamental form}と定義する。

$$ I : T_{p}M \times T_{p}M \to \mathbb{R} $$

$$ I (\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} g_{ij}X^{i}Y^{j} = g_{ij}X^{i}Y^{j} = \begin{bmatrix} X^{1} & X^{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y^{1} \\ Y^{2}\end{bmatrix} $$

係数の行列$\left[ g_{ij} \right]$の行列式を$g$と表記する。

$$ g := \det (\left[ g_{ij} \right]) = \begin{vmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22}\end{vmatrix} = g_{11}g_{22} - g_{12}g_{21} $$

行列$\left[ g_{ij} \right]$の逆行列の$(k,l)$成分を$g^{kl}$と表記する。

$$ \begin{align*} \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} ^{-1} =&\ \dfrac{1}{\det \left[ g_{ij} \right]} \begin{pmatrix} g_{22} & - g_{21} \\ g_{12} & g_{22} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{g} \begin{pmatrix} g_{22} & - g_{21} \\ g_{12} & g_{22} \end{pmatrix} \\[1em] =&\ \begin{pmatrix}\dfrac{g_{22}}{g} & - \dfrac{g_{21}}{g} \\[1em] -\dfrac{g_{12}}{g} & \dfrac{g_{11}}{g} \end{pmatrix} \\[1em] =&\ \begin{pmatrix} g^{11} & g^{12} \\[1em] g^{21} & g^{22} \end{pmatrix} \end{align*} $$

説明

最近は第一基本形式という言葉はほとんど使われず、リーマン計量という言葉だけが主に使われるという。計量という名前がついたのは、ビルドアップで見たように、表面上の曲線の長さを測るために使うからである。

$E = g_{11}$、$F=g_{21}=g_{12}$、$G=g_{22}$のような表記も多く使われる。

曲線理論では登場しなかったリーマン計量という概念が出てくる理由は、接空間の基底$\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$が一般的に正規直交基底ではないからである。正規直交基底ならば$g_{ij} = \delta_{ij}$であり、意味がない。ここで、$\delta$はクロネッカーデルタである。リーマン計量とアインシュタインの記法を使用して、表面上の曲線$\boldsymbol{\alpha}$の長さを表すと、次のようになる。

$$ \begin{align*} L (\boldsymbol{\alpha}) =&\ \text{length of } \boldsymbol{\alpha} \\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ g_{ij} \dfrac{d u_{i}}{dt}\dfrac{d u_{j}}{dt}} dt \\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ g_{ij} \alpha_{i}^{\prime} \alpha_{j}^{\prime} } dt \\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ E\left( \dfrac{d u_{1}}{dt} \right)^{2} + 2F\dfrac{d u_{1}}{dt}\dfrac{d u_{2}}{dt} + G\left( \dfrac{d u_{2}}{dt} \right)^{2}} dt \end{align*} $$

表面の面積も、リーマン計量の積分によって定義される。

• 単純曲面$\mathbf{x}$上のある領域$R$について、$Q = \mathbf{x}^{-1}(R)$とする。つまり、$Q \subset U \subset \R^{2}$である。すると、$R$の面積は次のようになる。

$$ \text{area of } R = \iint _{Q} \sqrt{g} du_{1}du_{2} = \iint _{Q} \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right| du_{1}du_{2} = \iint _{Q} \sqrt{EG-F^{2}} du_{1}du_{2} $$

性質

単純曲面$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$に対して、

(a) $g = \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|^{2}$

(b) $g^{11} = \dfrac{g_{22}}{g} \quad \text{and} \quad g^{12} = g^{21} = -\dfrac{g_{12}}{g} \quad \text{and} \quad g^{22} = \dfrac{g_{11}}{g}$

(c) $\forall i,j$、$\sum \limits_{k=1}^{2} g_{ik}g^{kj} = {\delta_{i}}^{j}$

ここで、$\delta$はクロネッカーデルタである。

証明

(a)

外積の性質とリーマン計量の定義により、次が成立する。

$$ \begin{align*} \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|^{2} =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2} \sin ^{2} \theta \\ =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2}\left(1- \cos ^{2} \theta \right) \\ =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2}\left(1- \dfrac{\mathbf{x}_{1} \cdot \mathbf{x}_{2}}{\left| \mathbf{x}_{1} \right| \left| \mathbf{x}_{2} \right| } \right) \\ =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2} - \left( \mathbf{x}_{1} \cdot \mathbf{x}_{2} \right)^{2} \\ =&\ g_{11}g_{22} - g_{12}g_{21} \\ =&\ \det( [g_{ij}] ) \\ =&\ g \end{align*} $$

■

(b)

定義どおりだ。

■

(c)

$[g^{kl}]$が$[g_{ij}]$の逆行列であるので、自然に成立する。

$$ \begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =&\ \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{11} & g^{12} \\ g^{21} & g^{22} \end{pmatrix} \\[1em] =&\ \begin{pmatrix} g_{11}g^{11}+g_{12}g^{21} & g_{11}g^{12} + g_{12}g^{22} \\[1em] g_{21}g^{11} + g_{22}g^{21} & g_{21}g^{12} + g_{22}g^{22} \end{pmatrix} \end{align*} $$

■

関連項目

• 第二基本形式
• クリストッフェル記号
• リーマン計量