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固有分解 📂幾何学

固有分解

定義1

  • MR3M \subset \mathbb{R}^{3}ϵ>0\epsilon >0が与えられたとしよう。ddユークリッド距離と呼ぶ。以下のように定義される集合を点PMP \in Mϵ\epsilon -近傍ϵ\epsilon -neighborhoodという。

    Np:={QM:d(P,Q)<ϵ} N_{p} := \left\{ Q \in M : d(P,Q) < \epsilon \right\}

  • MR3M \subset \mathbb{R}^{3}としよう。関数g:MR2g : M \to \R^{2}が与えられたとしよう。g(P)g(P)を含む全ての開集合 UR2U \subset \R^{2}に対して、g(N)Ug(N) \subset Uを満たすPPϵ\epsilon -近傍NpN_{p}が存在するなら、ggPMP \in M連続continuousであるという。

  • 単純曲面x:UR3\mathbf{x} : U \to \R^{3}の逆関数x1:x(U)U\mathbf{x}^{-1} : \mathbf{x}(U) \to Uが定義域x(U)\mathbf{x}(U)の全ての点で連続であるなら、x\mathbf{x}適切なパッチproper patchと呼ばれる。

説明

ϵ\epsilon -近傍はMMR3\mathbb{R}^{3}上の半径がϵ\epsilon開球の交差点と同じだ。

連続性は、ドメインを曲面に限定した以外は位相数学における連続性と同じように定義される。

x\mathbf{x}が適切なパッチであるということは、UUx(U)\mathbf{x}(U)位相同型であるということと同じだ。位相数学でドーナツとカップが同じ形と言うように、UUを(切ったり穴を開けずに)引き伸ばしたり曲げてx(U)\mathbf{x}(U)と一致させることが出来ると見なすことだ。


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, 微分幾何学の要素 (1977), p88-89 ↩︎