固有分解
📂幾何学固有分解
定義
M⊂R3とϵ>0が与えられたとしよう。dをユークリッド距離と呼ぶ。以下のように定義される集合を点P∈Mのϵ−近傍ϵ−neighborhoodという。
Np:={Q∈M:d(P,Q)<ϵ}
M⊂R3としよう。関数g:M→R2が与えられたとしよう。g(P)を含む全ての開集合 U⊂R2に対して、g(N)⊂Uを満たすPのϵ−近傍Npが存在するなら、gはP∈Mで連続continuousであるという。
単純曲面x:U→R3の逆関数x−1:x(U)→Uが定義域x(U)の全ての点で連続であるなら、xは適切なパッチproper patchと呼ばれる。
説明
ϵ−近傍はMとR3上の半径がϵの開球の交差点と同じだ。
連続性は、ドメインを曲面に限定した以外は位相数学における連続性と同じように定義される。
xが適切なパッチであるということは、Uとx(U)が位相同型であるということと同じだ。位相数学でドーナツとカップが同じ形と言うように、Uを(切ったり穴を開けずに)引き伸ばしたり曲げてx(U)と一致させることが出来ると見なすことだ。