📂ベクトル分析

解析学における逆関数定理

定理¹

開集合 $E$で定義された関数$\mathbf{f} : E \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$が$C^{1}$関数だとしよう。$\mathbf{a} \in E$に対して、$\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{a})$が可逆であり$\mathbf{b} = \mathbf{f}(\mathbf{a})$とする。すると、以下が成り立つ。

(a) $\mathbf{a} \in U, \mathbf{b} \in V$であり、$U$上で$\mathbf{f}$が一対一であり$\mathbf{f}(U) = V$な開集合$U, V \subset \mathbb{R}^{n}$が存在する。

(b) もし$\mathbf{g}$が$\mathbf{f}$の逆関数であれば^{(a)による存在は保証される}、

$$ \mathbf{g}\left( \mathbf{f}(\mathbf{\mathbf{x}}) \right) = \mathbf{x},\quad \mathbf{x}\in U $$

ならば、$\mathbf{g} \in C^{1}(V)$である。

説明

定義域と値域の次元が$n$であることが重要である。

(a): 全単射 縮小写像 $\mathbf{f}|_{U}$が存在するということだ。

参考

• 複素解析における逆関数定理