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解析学における逆関数定理 📂多変数ベクトル解析

解析学における逆関数定理

定理1

開集合 EEで定義された関数f:ERnRn\mathbf{f} : E \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}C1C^{1}関数だとしよう。aE\mathbf{a} \in Eに対して、f(a)\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{a})が可逆でありb=f(a)\mathbf{b} = \mathbf{f}(\mathbf{a})とする。すると、以下が成り立つ。

(a) aU,bV\mathbf{a} \in U, \mathbf{b} \in Vであり、UU上でf\mathbf{f}が一対一でありf(U)=V\mathbf{f}(U) = Vな開集合U,VRnU, V \subset \mathbb{R}^{n}が存在する。

(b) もしg\mathbf{g}f\mathbf{f}の逆関数であれば(a)による存在は保証される

g(f(x))=x,xU \mathbf{g}\left( \mathbf{f}(\mathbf{\mathbf{x}}) \right) = \mathbf{x},\quad \mathbf{x}\in U

ならば、gC1(V)\mathbf{g} \in C^{1}(V)である。

説明

定義域と値域の次元がnnであることが重要である。

(a): 全単射 縮小写像 fU\mathbf{f}|_{U}が存在するということだ。

参考


  1. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3rd Edition, 1976), p221-223 ↩︎