📂幾何学

微分可能多様体から微分可能多様体への微分可能関数

定義¹

$M_{1}, M_{2}$をそれぞれ$n, m$次元の微分多様体とする。マッピング$\varphi : M_{1} \to M_{2}$が以下の条件を満たせば、$p \in M_{1}$で微分可能^{differentiable at $p$}と定義される。

1. $\varphi(p)$で座標系$\mathbf{y} : V \subset \mathbb{R}^{m} \to M_{2}$が与えられた時、$p$で座標系$\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to M_{1}$が存在し、$\varphi\left( \mathbf{x}(U) \right) \subset \mathbf{y}(V)$が成立する。

2. マッピング$\mathbf{y}^{-1} \circ \varphi \circ \mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$が$\mathbf{x}^{-1}(p)$で微分可能である。

説明

微分可能な多様体を定義するときと同様に、座標系$\mathbf{x}, \mathbf{y}$を通じて微分を定義する。

条件1.は一見難しそうだが、よく見ると$\epsilon -\delta$の方法の定義や位相数学での連続性を定義するセンスと完全に一致している。

条件2.における$\mathbf{y}^{-1} \circ \varphi \circ \mathbf{x}$は、ユークリッド空間からユークリッド空間への関数なので、古典的なセンスで微分可能である。このマッピングは、座標系$\mathbf{x}$と$\mathbf{y}$での$\varphi$のexpressionと呼ばれる。