📂幾何学

ベクトル空間

定義¹

ユークリッド空間 $\mathbb{R}^{n+1}$で原点$\mathbf{0}$を通るすべての直線の集合を$\mathbb{P}^{n}$と記し、プロジェクティブスペース^{projective space, 投影空間}という。

$$ \mathbb{P}^{n} := \left\{ \text{all straight lines passing through in } \mathbb{R}^{n+1} \right\} $$

説明

モジュライ空間の簡単な例。

$$ (x_{1}, \dots, x_{n+1}) \sim (\lambda x_{1}, \dots, \lambda x_{n+1}),\quad \lambda \in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\} $$

原点を通る直線上の点は互いにスカラー倍であるため、同値関係 $\sim$を上記のように与えることができる。また、原点を通る直線は、その直線上の任意の一点によって決まる。したがって、商空間 $(\mathbb{R}^{n+1} - \left\{ 0 \right\}) / \sim$は$n$次元の投影空間と同じであることが分かる。

$$ \mathbb{P}^{n} = (\mathbb{R}^{n+1} - \left\{ 0 \right\} )/ \sim $$