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ベクトル空間 📂幾何学

ベクトル空間

定義1

ユークリッド空間 Rn+1\mathbb{R}^{n+1}で原点0\mathbf{0}を通るすべての直線の集合をPn\mathbb{P}^{n}と記し、プロジェクティブスペースprojective space, 投影空間という。

Pn:={all straight lines passing through in Rn+1} \mathbb{P}^{n} := \left\{ \text{all straight lines passing through in } \mathbb{R}^{n+1} \right\}

説明

モジュライ空間の簡単な例。

(x1,,xn+1)(λx1,,λxn+1),λR{0} (x_{1}, \dots, x_{n+1}) \sim (\lambda x_{1}, \dots, \lambda x_{n+1}),\quad \lambda \in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\}

原点を通る直線上の点は互いにスカラー倍であるため、同値関係 \simを上記のように与えることができる。また、原点を通る直線は、その直線上の任意の一点によって決まる。したがって、商空間 (Rn+1{0})/(\mathbb{R}^{n+1} - \left\{ 0 \right\}) / \simnn次元の投影空間と同じであることが分かる。

Pn=(Rn+1{0})/ \mathbb{P}^{n} = (\mathbb{R}^{n+1} - \left\{ 0 \right\} )/ \sim


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p4-5 ↩︎