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関数の拡張と縮小 📂関数

関数の拡張と縮小

定義1

関数 f:XYf : X \to Yが与えられたとしよう。UXVU \subset X \subset Vが成立するとしよう。

縮小写像

次を満たすfUYf |_{U} \to Yff縮小写像Uへのffの制限と言う。

fU:UYandfU(x)=f(x),xU f|_{U} : U \to Y \quad \text{and} \quad f|_{U}(x) = f (x),\quad \forall x \in U

拡張

次を満たすf~Y\tilde{f} \to Yff拡張Vへのffの拡張と言う。

f~:VYandf~(x)=f(x),xX \tilde{f} : V \to Y \quad \text{and} \quad \tilde{f}(x) = f (x),\quad \forall x \in X

説明

通常、縮小写像(制限とも言われる)、拡張という翻訳語より、そのまま英語読みの[リストラクション]、[エクステンション]と言うことが多い。

簡単に言えば、関数の形をそのまま保ちながら、定義域を狭めたり広げたりすることである。

定義によって、明らかにfff~\tilde{f}のリストラクションであり、fUf|_{U}のエクステンションである。


  1. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1989), p99 ↩︎