📂関数

関数の拡張と縮小

定義¹

関数 $f : X \to Y$が与えられたとしよう。$U \subset X \subset V$が成立するとしよう。

縮小写像

次を満たす$f |_{U} \to Y$を$f$の縮小写像^{Uへの$f$の制限}と言う。

$$ f|_{U} : U \to Y \quad \text{and} \quad f|_{U}(x) = f (x),\quad \forall x \in U $$

拡張

次を満たす$\tilde{f} \to Y$を$f$の拡張^{Vへの$f$の拡張}と言う。

$$ \tilde{f} : V \to Y \quad \text{and} \quad \tilde{f}(x) = f (x),\quad \forall x \in X $$

説明

通常、縮小写像(制限とも言われる)、拡張という翻訳語より、そのまま英語読みの[リストラクション]、[エクステンション]と言うことが多い。

簡単に言えば、関数の形をそのまま保ちながら、定義域を狭めたり広げたりすることである。

定義によって、明らかに$f$は$\tilde{f}$のリストラクションであり、$f|_{U}$のエクステンションである。