📂偏微分方程式

ヘルムホルツ方程式

定義

以下の偏微分方程式をヘルムホルツ方程式^{Helmholtz equation}という。

$$\nabla^{2}u(x) + k^{2} u(x) = \Delta u(x) + k^{2} u(x) = (\Delta + k^{2} )u(x) = 0,\quad x \in \mathbb{R}^{n}$$

ここで、$\nabla ^{2} = \Delta$はラプラシアンである。

説明

$-\Delta u = \lambda u$のような形で表現することもできる。このため、ラプラス作用素の固有値方程式¹とも呼ばれることがある。

波動方程式から導出できるため、reduced wave equation²とも呼ばれる。

波動方程式には時間と空間に関する微分が含まれているが、ヘルムホルツ方程式は時間に関する項が消え、時間に無関係な空間変数のみに依存する偏微分方程式である。

導出

波動方程式は以下の通りである。

$$\Delta u(x,t) - \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2} u(x,t)}{\partial t^{2}} = 0$$

この時、$c$は波の速度を意味する。

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方法1

波動方程式の解、つまり波動関数は以下の通りである。

$$u (x,t) = u(x)u(t) = e^{ikx} e^{-i\omega t} = e^{i(kx - \omega t)}$$

この時、$x , t$はそれぞれ空間と時間、$k, \omega$は波数と角周波数を意味する。波の速度が$c$の時、以下の関係が成り立つ。

$$k = \dfrac{\omega}{c}$$

したがって、$u_{tt}(x,t)$を求めると以下の通りである。

$$u_{tt}(x,t) = \dfrac{\partial ^{2}}{\partial t^{2}}e^{i(kx - \omega t)} = (-i \omega)^{2}e^{i(kx - \omega t)} = -\omega^{2}e^{i(kx - \omega t)}$$

これを波動方程式に代入すれば、ヘルムホルツ方程式を得る。

$$\begin{align*} && \Delta u - \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} =&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta e^{i(kx - \omega t)} + \dfrac{\omega^{2}}{c^{2}} e^{i(kx - \omega t)} =&\ 0 \\[1em] \implies && \left( \Delta e^{ikx} + k^{2} e^{ikx} \right) e^{-i\omega t}=&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta e^{ikx} + k^{2} e^{ikx}=&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta u(x) + k^{2} u(x) =&\ 0 \end{align*}$$

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方法2

波動方程式を$t$に対してフーリエ変換すると、以下を得る。

$$\begin{align*} && \Delta u(x,t) - \dfrac{1}{c^{2}}u_{tt}(x,t) =&\ 0 \\ \implies && \widehat{\Delta u}(x,\omega) - \dfrac{1}{c^{2}} \widehat{u_{tt}}(x,\omega) =&\ 0 \end{align*}$$

ここで、二番目の項にフーリエ変換の性質$\widehat{u^{\prime \prime}}(\omega) = - \omega^{2} \widehat{u}(\omega)$を用いると、以下を得る。

$$\begin{align*} && \widehat{\Delta u}(x,\omega) + \dfrac{\omega^{2}}{c^{2}} \widehat{u}(x,\omega) =&\ 0 \\[1em] \implies && \widehat{\Delta u}(x,\omega) + k^{2} \widehat{u}(x,\omega) =&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta u(x, t) + k^{2} u(x, t) =&\ 0 \end{align*}$$

$u(x,t)$が変数分離されると仮定すると、

$$\begin{align*} && \Delta u(x, t) + k^{2} u(x, t) =&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta u(x) u(t) + k^{2} u(x) u(t) =&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta u(x) + k^{2} u(x) =&\ 0 \end{align*}$$

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方法3

$u(x, t) = u(x)v(t)$と同様に変数分離されると仮定して、次のように式を整理しよう。

$$\begin{align*} && \dfrac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}} =&\ \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}} \\[1em] \implies && \dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} v =&\ \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{d^{2} v }{d t^{2}} u \\[1em] \implies && \dfrac{1}{u}\dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} =&\ \dfrac{1}{c^{2}} \dfrac{1}{v}\dfrac{d^{2} v }{d t^{2}} \end{align*}$$

すると、左辺は$t$に無関係で、右辺は$x$に無関係であるため、両辺は$x$と$t$に対して定数であることが分かる。その定数を$-k^{2}$としよう。すると、以下を得る。

$$\begin{align*} && \dfrac{1}{u}\dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} =&\ -k^{2} \\[1em] \implies && \dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} =&\ -k^{2}u \\[1em] \implies && \dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} + k^{2}u =&\ 0 \end{align*}$$

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