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有界線形作用素の性質 📂バナッハ空間

有界線形作用素の性質

定理1

VVノルム空間とし、TT有界線形作用素とし、WVW \subset Vとする。そうすると、次が成り立つ。

(a)

T(W)T(W) T\left( \overline{W} \right) \subset \overline{T(W)}

さらに、TTが可逆であり、T1T^{-1}も有界線形作用素であれば、次が成り立つ。

T(W)=T(W) T\left( \overline{W} \right) = \overline{T(W)}

この時、W\overline{W}WWクロージャーである。

(b)

{vk}\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}VV内の数列、vV\mathbf{v} \in Vとする。そうすると、次が成り立つ。

limkvk=v    limkTvk=Tv \lim \limits _{k \to \infty} \mathbf{v}_{k} = \mathbf{v} \implies \lim \limits _{k \to \infty} T\mathbf{v}_{k} = T\mathbf{v}

(c)

VV内の数列{vk}\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}と、ある定数{ck}\left\{ c_{k} \right\}に対して、k=1ckvk\sum \limits_{k=1}^{\infty} c_{k}\mathbf{v}_{k}が収束すると仮定する。そうすると、次が成り立つ。

Tk=1ckvk=ckk=1Tvk T \sum \limits_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} = c_{k} \sum \limits_{k=1}^{\infty} T \mathbf{v}_{k}

説明

有界な作用素は連続であり、**(b)**は関数が連続である同値条件であるため、当然の事実と言える。

証明

(b)

TTが有界で線形であるため、次の式が成り立つ。

TvkTv=T(vkv)Tvkv \left\| T \mathbf{v}_{k} - T \mathbf{v} \right\| = \left\| T (\mathbf{v}_{k} - \mathbf{v}) \right\| \le \left\| T \right\| \left\|\mathbf{v}_{k} - \mathbf{v} \right\|

従って、vkv\mathbf{v}_{k} \to \mathbf{v}であれば、TvkTvT \mathbf{v}_{k} \to T \mathbf{v}である。


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p45 ↩︎