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ベクトル場の線積分 📂微分積分学

ベクトル場の線積分

定義1

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ベクターフィールド $\mathbf{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$と3次元空間上の曲線 $C$がこんなふうに $\mathbf{r}(t)$として与えられたとしよう。$\mathbf{T}$をベクターフィールドの接線フィールドと呼ぼう。そうしたら、曲線 $C$に沿った**$\mathbf{F}$の線積分**は次のように定義される。

$$ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = \int_{a}^{b} \mathbf{F}\left( \mathbf{r}(t) \right) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(t) dt = \int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds $$

説明

ベクターフィールドの線積分を定義するビルドアップは、曲線の長さスカラーフィールドの線積分を定義するビルドアップと変わりないので、参考にすること。

物理的意味

ベクターフィールド $\mathbf{F}$がであり、曲線 $C$が物体が移動した経路である場合、ベクターフィールドの線積分は仕事workそのものである。

$$ W = \int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds $$


  1. James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E), p1069-1071 ↩︎