📂微分積分学

매끄러운 함수의 정의

定義

1. 関数 $f$が無限に微分可能であれば、$f$をスムーズ^{smooth, スムーズ}な関数という。

2. 関数 $f$が微分可能であり、$f^{\prime}$が連続であれば、$f$をスムーズな関数という。

説明

1. 解析学や関数解析学などで、スムーズであるとは、第一の定義を意味することが多い。「無限に微分可能」という言葉に曖昧さがあるが、次のように理解すれば良い $$ \text{任意の自然数$n$に対して、$f$の$n$次の導関数が存在する。} $$ すなわち、無限に微分可能な関数とは、どのような自然数$n$に対しても、「君は$n$回微分可能か？」という質問に「はい」と答えられる関数のことを指す。特に、関数空間について話している場合、スムーズな関数とは$C^{\infty}$空間の元を指す。

2. 一方で、微分積分学や幾何学などでは、スムーズであるとは、第二の定義を意味することが多い。ここでは、関数が特に無限に微分可能である必要はなく、特に微分積分学では無限に微分可能であることを定義して扱いたいわけではないので、$C^{1}$程度でスムーズであればスムーズな関数という。「連続的に微分可能である」と定義が同じである。