📂ベクトル分析

正則写像

定義¹

写像 $\mathbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$が以下のように与えられたとする。

$$ \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \left( f_{1}(\mathbf{x}), f_{2}(\mathbf{x}), \dots, f_{m}(\mathbf{x}) \right),\quad \mathbf{x}\in \R^{n} $$

$\mathbf{f}$の全微分、またはヤコビ行列は以下の通りである。

$$ \mathbf{f}^{\prime} = J = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix} $$

全ての点 $\mathbf{x} \in \R^{n}$で$\mathbf{f}$のヤコビ行列のランクが$n$であれば、$\mathbf{f}$を正則写像^{regulear mapping}という。