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正則写像 📂多変数ベクトル解析

正則写像

定義1

写像 f:RnRm\mathbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}が以下のように与えられたとする。

f(x)=(f1(x),f2(x),,fm(x)),xRn \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \left( f_{1}(\mathbf{x}), f_{2}(\mathbf{x}), \dots, f_{m}(\mathbf{x}) \right),\quad \mathbf{x}\in \R^{n}

f\mathbf{f}全微分、またはヤコビ行列は以下の通りである。

f=J=[f1x1f1xnfmx1fmxn] \mathbf{f}^{\prime} = J = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix}

全ての点 xRn\mathbf{x} \in \R^{n}f\mathbf{f}のヤコビ行列のランクnnであれば、f\mathbf{f}正則写像regulear mappingという。


  1. Barrett O’Neill, Elementary Differential Geometry (Revised 2nd Edition, 2006), p39-40 ↩︎