3次元スカラー/ベクトル関数の導関数
📂数理物理学3次元スカラー/ベクトル関数の導関数
定理
3次元のスカラー関数f:R3→R1がf(x(t),y(t),z(t))=fのとき、dtdfは次のようになる。
dtdf=∂x∂fdtdx+∂y∂fdtdy+∂z∂fdtdz
3次元のベクター関数f:R3→R3がf(x(t),y(t),z(t))=(f1,f2,f3)のとき、dtdfは次のようになる。
dtdf== (dtdf1,dtdf2,dtdf3)=dtdf1x^+dtdf2y^+dtdf3z^ (∂x∂f1dtdx+∂y∂f1dtdy+∂z∂f1dtdz)x^+(∂x∂f2dtdx+∂y∂f2dtdy+∂z∂f2dtdz)y^+(∂x∂f3dtdx+∂y∂f3dtdy+∂z∂f3dtdz)z^
説明
多変数のベクター関数f:Rn→Rmがf=(f1,f2,…,fm)のとき、全微分は次のようになる。
f′=D1f1D1f2⋮D1fmD2f1D2f2⋮D2fm⋯⋯⋱⋯Dnf1Dnf2⋮Dnfm
だからn=3とm=1,3のときは、次のようになる。
f′=[D1fD2fD3f]=[∂x∂f∂y∂f∂z∂f]
f′=D1f1D1f2D1f3D2f1D2f2D2f3D3f1D3f2D3f3=∂x∂f1∂x∂f2∂x∂f3∂y∂f1∂y∂f2∂y∂f3∂z∂f1∂z∂f2∂z∂f3
今、g(t)=(x(t),y(t),z(t))としよう。すると
f(x(t),y(t),z(t))=f(g(t))=f∘g(t)
f(x(t),y(t),z(t))=f(g(t))=f∘g(t)
すると、全微分の連鎖律によって、
dtdf=f(g(t))=f′(g(t))g′(t)=[∂x∂f∂y∂f∂z∂f]dtdxdtdydtdz=∂x∂fdtdx+∂y∂fdtdy+∂z∂fdtdz
dtdf=f′(g(t))g′(t)=∂x∂f1∂x∂f2∂x∂f3∂y∂f1∂y∂f2∂y∂f3∂z∂f1∂z∂f2∂z∂f3dtdxdtdydtdz=∂x∂f1dtdx+∂y∂f1dtdy+∂z∂f1dtdz∂x∂f2dtdx+∂y∂f2dtdy+∂z∂f2dtdz∂x∂f3dtdx+∂y∂f3dtdy+∂z∂f3dtdz=dtdf1dtdf2dtdf3