さまざまな三角関数の積分法
概要
積分問題を解くとき、三角関数の積分をかなりすることになる。そして、これらの積分法に慣れると、三角関数も多項式関数のように迅速に積分できるようになる。
セカント関数の積分法、コセカント関数の積分法
$$ \begin{align*} \int \sec x dx =& \int \frac { \sec x (\sec x +\tan x ) }{ (\sec x +\tan x ) }dx \\ =& \int \frac { \sec^{ 2 }x+\sec x \tan x }{ \tan x +\sec x }dx \end{align*} $$ $ (\tan x )\prime =\sec^{ 2 }x$ であり、$(\sec x )\prime =\sec x \tan x$ であるため、 $$ \int \sec x dx=\ln|\tan x +\sec x |+C $$
同じ方法で次を得る。 $$ \int \csc x dx=-\ln|\cot x+\csc x |+C $$
タンジェント関数の積分法、コタンジェント関数の積分法
$$ \begin{align*} \int \tan x dx =& \int \frac { \sin x }{ \cos x }dx \\ =& \int \frac { -(-\sin x ) }{ \cos x }dx \end{align*} $$
$(\cos x )\prime =-\sin x$ であるため、
$$ \int \tan x dx=-\ln|\cos x |+C $$
同じ方法で次を得る。
$$ \int \cot xdx=\ln|\sin x |+C $$
サイン関数の二乗の積分法、コサイン関数の二乗の積分法
$$ \begin{align*} \int \sin^{ 2 }xdx =& \int \frac { 1-\cos2x }{ 2 }dx \\ =& \frac { 1 }{ 2 }(x-\frac { 1 }{ 2 }\sin2x)+C \\ =& \frac { 1 }{ 4 }(2x-\sin2x)+C \end{align*} $$
同じ方法で次を得る。
$$ \int \cos^{ 2 }xdx=\frac { 1 }{ 4 }(2x+\sin2x)+C $$
次数が $3$ 以上の場合は、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1$ を使用して次数を下げる。
サイン関数と $x$ の積の積分法、コサイン関数と $x$ の積の積分法
$$ \int x\sin x dx = -x\cos x -\int -\cos x dx=\sin x -x\cos x +C $$
$$ \int x\cos x dx=x\sin x -\int \sin x dx=\cos x +x\sin x +C $$
サイン関数のn乗とコサイン関数の積の積分法、コサイン関数のn乗とサイン関数の積の積分法
$\int \sin^{ n }x\cos x dx$から $\sin x =t$ へ置き換えると、
$$ \int t^{ n }dt=\displaystyle \frac { \sin^{ n+1 }x }{ n+1 }+C $$
$\int \cos^{ n }x\sin x dx$から $\cos x =t$ へ置き換えると、
$$ -\int t^{ n }dt=\displaystyle -\frac { \cos^{ n+1 }x }{ n+1 }+C $$