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さまざまな三角関数の積分法 📂関数

さまざまな三角関数の積分法

概要

積分問題を解くとき、三角関数の積分をかなりすることになる。そして、これらの積分法に慣れると、三角関数も多項式関数のように迅速に積分できるようになる。

セカント関数の積分法、コセカント関数の積分法

$$ \begin{align*} \int \sec x dx =& \int \frac { \sec x (\sec x +\tan x ) }{ (\sec x +\tan x ) }dx \\ =& \int \frac { \sec^{ 2 }x+\sec x \tan x }{ \tan x +\sec x }dx \end{align*} $$ $ (\tan x )\prime =\sec^{ 2 }x$ であり、$(\sec x )\prime =\sec x \tan x$ であるため、 $$ \int \sec x dx=\ln|\tan x +\sec x |+C $$

同じ方法で次を得る。 $$ \int \csc x dx=-\ln|\cot x+\csc x |+C $$

タンジェント関数の積分法、コタンジェント関数の積分法

$$ \begin{align*} \int \tan x dx =& \int \frac { \sin x }{ \cos x }dx \\ =& \int \frac { -(-\sin x ) }{ \cos x }dx \end{align*} $$

$(\cos x )\prime =-\sin x$ であるため、

$$ \int \tan x dx=-\ln|\cos x |+C $$

同じ方法で次を得る。

$$ \int \cot xdx=\ln|\sin x |+C $$

サイン関数の二乗の積分法、コサイン関数の二乗の積分法

$$ \begin{align*} \int \sin^{ 2 }xdx =& \int \frac { 1-\cos2x }{ 2 }dx \\ =& \frac { 1 }{ 2 }(x-\frac { 1 }{ 2 }\sin2x)+C \\ =& \frac { 1 }{ 4 }(2x-\sin2x)+C \end{align*} $$

同じ方法で次を得る。

$$ \int \cos^{ 2 }xdx=\frac { 1 }{ 4 }(2x+\sin2x)+C $$

次数が $3$ 以上の場合は、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1$ を使用して次数を下げる。

サイン関数と $x$ の積の積分法、コサイン関数と $x$ の積の積分法

$$ \int x\sin x dx = -x\cos x -\int -\cos x dx=\sin x -x\cos x +C $$

$$ \int x\cos x dx=x\sin x -\int \sin x dx=\cos x +x\sin x +C $$

サイン関数のn乗とコサイン関数の積の積分法、コサイン関数のn乗とサイン関数の積の積分法

$\int \sin^{ n }x\cos x dx$から $\sin x =t$ へ置き換えると、

$$ \int t^{ n }dt=\displaystyle \frac { \sin^{ n+1 }x }{ n+1 }+C $$

$\int \cos^{ n }x\sin x dx$から $\cos x =t$ へ置き換えると、

$$ -\int t^{ n }dt=\displaystyle -\frac { \cos^{ n+1 }x }{ n+1 }+C $$