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さまざまな三角関数の積分法 📂関数

さまざまな三角関数の積分法

概要

積分問題を解くとき、三角関数の積分をかなりすることになる。そして、これらの積分法に慣れると、三角関数も多項式関数のように迅速に積分できるようになる。

セカント関数の積分法、コセカント関数の積分法

∫sec⁡xdx=∫sec⁡x(sec⁡x+tan⁡x)(sec⁡x+tan⁡x)dx=∫sec⁡2x+sec⁡xtan⁡xtan⁡x+sec⁡xdx \begin{align*} \int \sec x dx =& \int \frac { \sec x (\sec x +\tan x ) }{ (\sec x +\tan x ) }dx \\ =& \int \frac { \sec^{ 2 }x+\sec x \tan x }{ \tan x +\sec x }dx \end{align*} (tan⁡x)′=sec⁡2x (\tan x )\prime =\sec^{ 2 }x であり、(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x )\prime =\sec x \tan x であるため、 ∫sec⁡xdx=ln⁡∣tan⁡x+sec⁡x∣+C \int \sec x dx=\ln|\tan x +\sec x |+C

同じ方法で次を得る。 ∫csc⁡xdx=−ln⁡∣cot⁡x+csc⁡x∣+C \int \csc x dx=-\ln|\cot x+\csc x |+C

タンジェント関数の積分法、コタンジェント関数の積分法

∫tan⁡xdx=∫sin⁡xcos⁡xdx=∫−(−sin⁡x)cos⁡xdx \begin{align*} \int \tan x dx =& \int \frac { \sin x }{ \cos x }dx \\ =& \int \frac { -(-\sin x ) }{ \cos x }dx \end{align*}

(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x )\prime =-\sin x であるため、

∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C \int \tan x dx=-\ln|\cos x |+C

同じ方法で次を得る。

∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C \int \cot xdx=\ln|\sin x |+C

サイン関数の二乗の積分法、コサイン関数の二乗の積分法

∫sin⁡2xdx=∫1−cos⁡2x2dx=12(x−12sin⁡2x)+C=14(2x−sin⁡2x)+C \begin{align*} \int \sin^{ 2 }xdx =& \int \frac { 1-\cos2x }{ 2 }dx \\ =& \frac { 1 }{ 2 }(x-\frac { 1 }{ 2 }\sin2x)+C \\ =& \frac { 1 }{ 4 }(2x-\sin2x)+C \end{align*}

同じ方法で次を得る。

∫cos⁡2xdx=14(2x+sin⁡2x)+C \int \cos^{ 2 }xdx=\frac { 1 }{ 4 }(2x+\sin2x)+C

次数が 33 以上の場合は、sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1 を使用して次数を下げる。

サイン関数と xx の積の積分法、コサイン関数と xx の積の積分法

∫xsin⁡xdx=−xcos⁡x−∫−cos⁡xdx=sin⁡x−xcos⁡x+C \int x\sin x dx = -x\cos x -\int -\cos x dx=\sin x -x\cos x +C

∫xcos⁡xdx=xsin⁡x−∫sin⁡xdx=cos⁡x+xsin⁡x+C \int x\cos x dx=x\sin x -\int \sin x dx=\cos x +x\sin x +C

サイン関数のn乗とコサイン関数の積の積分法、コサイン関数のn乗とサイン関数の積の積分法

∫sin⁡nxcos⁡xdx\int \sin^{ n }x\cos x dxから sin⁡x=t\sin x =t へ置き換えると、

∫tndt=sin⁡n+1xn+1+C \int t^{ n }dt=\displaystyle \frac { \sin^{ n+1 }x }{ n+1 }+C

∫cos⁡nxsin⁡xdx\int \cos^{ n }x\sin x dxから cos⁡x=t\cos x =t へ置き換えると、

−∫tndt=−cos⁡n+1xn+1+C -\int t^{ n }dt=\displaystyle -\frac { \cos^{ n+1 }x }{ n+1 }+C