📂偏微分方程式

波動方程式

定義¹

次の偏微分方程式を波動方程式wave equationと呼ぶ。

$$ u_{tt} - \Delta u =0 $$

この式は、波の伝播速度を定数$1$とする場合である。波の伝播速度を$c$とすると、波動方程式は以下のようになる。

$$ u_{tt} - c^{2}\Delta u =0 $$

非同次^{nonhomogeneous}の場合は、以下のようになる。

$$ u_{tt} - \Delta u = f $$

• $U \subset \mathbb{R}^{n}$は開集合
• $u : \overline{U}\times [0, \infty) \to \mathbb{R}$
• $t>0$
• $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in U$
• $u=u(x, t)=u(x_{1}, \dots, x_{n}, t)$
• $\Delta$はラプラシアン
• $f:U \times [0, \infty) \to \mathbb{R}$

説明

時間に対する2次の微分を位置に関する項に置き換えると、ヘルムホルツ方程式になる。