📂偏微分方程式

ラプラス方程式の基本解

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ラプラス方程式は回転変換に対して不変なので、$u(x)$の変数を半径に変更して考えます。そうすれば、次のような過程を経て、微分方程式をより簡単な形にすることができます。

$u=u(x)$をラプラス方程式の解としましょう。

$$\Delta u = 0$$

そして、$r=|x|=(x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2})^{1/2}$と置き、$v\in C^2$で、$u(x) = v(|x|) = v(r) (x\in \mathbb{R}^{n} \setminus \left\{ 0 \right\})$とします。

$$\begin{align*} v(r) &= u(x) \\ \Delta v &= 0 \end{align*}$$

今、$u$のラプラス方程式を表すために、次の微分を計算しましょう。

$$\begin{equation*} \begin{aligned} \dfrac{\partial r}{\partial x_{i}} &= \dfrac{\partial}{\partial x_{i}} (x_{1}^{2} + \cdots x_{n}^{2} )^{1/2} \\ &= \dfrac{1}{2(x_{1}^{2} + \cdots x_{n}^{2} )^{1/2}}2x_{i} \\ &= \dfrac{x_{i}}{(x_{1}^{2} + \cdots x_{n}^{2} )^{1/2}} \\ &= \dfrac{x_{i}}{r} \end{aligned} \quad \text{and} \quad \begin{aligned} u_{x_{i}}(x) &= \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} v(r) \\ &= \dfrac{d v(r)}{d r}\dfrac{\partial r}{\partial x_{i}} \\ &= v^{\prime}(r) \dfrac{x_{i}}{r} \end{aligned} \end{equation*}$$

$$\begin{align*} u_{x_{i}x_{i}} &= \dfrac{\partial }{\partial x_{i} } \left( v^{\prime}(r)\dfrac{x_{i}}{r} \right) \\ &= \dfrac{\partial v^{\prime}(r)}{\partial x_{i}} \dfrac{x_{i}}{r} + v^{\prime}(r)\dfrac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\dfrac{x_{i}}{r}\right) \\ &= \dfrac{d v^{\prime}(r)}{dr} \dfrac{\partial r}{\partial x_{i}} \dfrac{x_{i}}{r} + v^{\prime}(r) \left( \dfrac{1}{r} + x_{i}\dfrac{\partial}{ \partial x_{i}} \left(\dfrac{x_{i}}{r}\right) \right) \\ &= v^{\prime \prime}(r) \dfrac{x_{i}^{2}}{r^{2}} + v^{\prime}(r) \left( \dfrac{1}{r} + x_{i}\dfrac{d}{dr} \left( \dfrac{1}{r} \right) \dfrac{\partial r}{\partial x_{i}} \right) \\ &= v^{\prime \prime}(r) \dfrac{x_{i}^{2}}{r^{2}} + v^{\prime}(r)\left(\dfrac{1}{r} + x_{i}\left(-\dfrac{1}{r^{2}}\right) \dfrac{x_{i}}{r} \right) \\ &= v^{\prime \prime}(r) \dfrac{x_{i}^{2}}{r^{2}} + v^{\prime}(r)\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{x_{i}^{2}}{r^{3}} \right) \end{align*}$$

そうすると、ラプラス方程式は次のようになります。

$$\begin{align*} \Delta u &= \sum \limits_{i}^{n} u_{x_{i} x_{i}} \\ &= \dfrac{v^{\prime \prime}(r)}{r^{2}}\left( x_{1}^{2} + \cdots x_{n}^{2} \right) + v^{\prime}(r) \left( \dfrac{n}{r} - \dfrac{x_{1}^{2} + \cdots x_{n}^{2}}{r^{3}} \right) \\ &= \dfrac{v^{\prime \prime}(r)}{r^{2}}r^{2} + v^{\prime}(r) \left( \dfrac{n}{r} - \dfrac{r^{2}}{r^{3}} \right) \\ &= v^{\prime \prime}(r) + \dfrac{n-1}{r} v^{\prime}(r) & x\ne 0 \end{align*}$$

したがって、以下の二つの式は等しいです。

$$\Delta u =0 \text{ in }\mathbb{R}^n\setminus\left\{ 0\right\} \iff v^{\prime \prime}(r ) + \dfrac{n-1}{r}v^{\prime}(r)=0\quad (r>0)$$

$u(x)$のラプラス方程式を解く問題が、$v(r)$の2次常微分方程式を解く問題に変わったわけです。

今、$v^{\prime \prime}+\dfrac{n-1}{r}v^{\prime}=0 \text{ in } (0, \infty)$と、$v^{\prime}\ne 0 \text{ in } (0, \infty)$と仮定しましょう。

そうすると、整理して次の式を得ます。

$$\dfrac{v^{\prime \prime}}{v^{\prime}} = \dfrac{1-n}{r}$$

$w=v^{\prime} \in C^{1}(0, \infty)$と置換すると、次を得ます。

$$\dfrac{w^{\prime}}{w} = \dfrac{1-n}{r}$$

左辺を積分すると、以下のようになります。

$$\int_{1}^{s} \dfrac{w^{\prime}}{w} dr = \log |w(s)| - \log |w(1)| = \log \left| \dfrac{w(s)}{w(1)} \right|$$

右辺を積分すると、以下のようになります。

$$\int_{1}^{s} \dfrac{1-n}{r} dr = (1-n) \left[ \log s - \log 1 \right] = (1-n)\log s =\log s^{1-n}$$

したがって、次を得ます。

$$\dfrac{|w(s)|}{|w(1)|}=s^{1-n} \implies |w(s)|=|w(1)|s^{1-n} (s>0)$$

再び$v$で表すと、次のようになります。

$$v^{\prime}(s)=w(s)=w(1)s^{1-n}=v^{\prime}(1)s^{1-n}$$

ここで、$v(r)-v(1)$に微分積分学の基本定理を適用し、上の式を代入して整理すると、次を得ます。

$$\begin{align*} v(r)-v(1) &= \int_{1}^{r} v^{\prime}(s) ds = v^{\prime}(1)\int_{1}^{r} s^{1-n} ds \\ &= \begin{cases} v^{\prime}(1)\log r & n=2 \\ v^{\prime}(1) \dfrac{1}{2-n}(r^{2-n}-1) & n \ge 3 \end{cases} \end{align*}$$

$v(r)$に対して整理すると、次のようになります。

$$v(r) = \begin{cases} v^{\prime}(1)\log r + v^{\prime}(1) & n=2 \\ v^{\prime}(1)\dfrac{1}{2-n} \dfrac{1}{r^{n-2}} + \left(v(1)+\dfrac{v^{\prime}(1)}{n-2} \right) & n \ge 3 \end{cases}$$

定数部分を$b, c$と表示すると、次のように簡単に整理できます。

$$v(r) = \begin{cases} b\log r + c & n=2 \\ \dfrac{b}{r^{n-2}} + c & n \ge 3 \end{cases}$$

これらの結果から、ラプラス方程式の基本解を定義します。

定義

$x \in \mathbb{R}^{n}$で、$x \ne 0$に対して、以下の関数$\Phi$をラプラス方程式の基本解^{fundamental solution}と定義します。

$$\Phi (x) := \begin{cases} -\dfrac{1}{2\pi}\log |x| & n=2 \\ \dfrac{1}{n(n-2)\alpha (n)} \dfrac{1}{|x|^{n-2}} & n \ge 3 \end{cases}$$

ここで、$\alpha (n)$は$\mathbb{R}^{n}$のユニットボール$B(0,\ 1)$の体積です。$n\alpha (n)$は$\mathbb{R}^{n}$のユニットボールの表面積です。