スカラー場のラプラシアン
定義
スカラー関数の$u : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$のグラジエントのダイバージェンスをラプラシアンLaplacianと呼んで、次のように表記する。
$$ \begin{align*} \Delta u :&= \mathrm{div}(\nabla (u)) \\ &= \mathrm{div} \left( \left( u_{x_{1}}, u_{x_{2}}, \dots, u_{x_{n}} \right) \right) \\ &= u_{x_{1}x_{1}} + u_{x_{2}x_{2}} + \cdots + u_{x_{n}x_{n}} \\ &= \sum _{i=1}^{n} u_{x_{i}x_{i}} \end{align*} $$
ここで$u_{x_{i}}=\dfrac{\partial u}{\partial x_{i}}$である。
説明
数学では、ダイバージェンスを$\mathrm{div}$と表記することが多いし、ラプラシアンも主に$\Delta$と表記される。しかし、物理学では、ダイバージェンスを$\nabla \cdot$と表記するため、ラプラシアンの表記は主に$\nabla ^{2}$が使われる。
$$ \nabla\cdot( \nabla (u))=\nabla^{2}(u) = \nabla^{2}u $$
$D^{2}$をマルチインデックス記法と呼ぶなら、ヘッセ行列のトレースとも同じである。
$$ \Delta u = \sum_{i=1}^{n} u_{x_{i} x_{i}} = \mathrm{tr} (D^{2}u) $$
3次元デカルト座標系
$$ \Delta f = \nabla ^{2} f = \frac{ \partial^{2} f}{ \partial x^{2} }+\frac{ \partial^{2} f}{ \partial y^{2}}+\frac{ \partial^{2} f}{ \partial z^{2}} $$