📂微分方程式

ピカールの定理

ビルドアップ¹

以下のようなODEシステムを考えよう。

$$ \begin{equation} \begin{aligned} x_{1}^{\prime}(t) =&\ F_{1}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \\ x_{2}^{\prime}(t) =&\ F_{2}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \\ \vdots & \\ x_{n}^{\prime}(t) =&\ F_{n}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \end{aligned} \end{equation} $$

$t=t_{0}$の時、各$x_{i}$の値を次のようにしよう。

$$ \begin{equation} x_{1}(t_{0}) = x_{1}^{0}, x_{2}(t_{0}) = x_{2}^{0}, \dots, x_{n}(t_{0}) = x_{n}^{0} \end{equation} $$

$(1)$と$(2)$を組み合わせて連立一階微分方程式の初期値問題^{initial value problem}と言い、この時の解^solution$x_{1} = \phi_{1}(t), x_{2} = \phi_{2}(t), \dots, x_{n} = \phi_{n}(t)$を見つけることを初期値問題を解くという。

定理

$n$個の関数$F_{1}, \dots, F_{n}$と$n^{2}$個の一階導関数$\dfrac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}, \dots, \dfrac{\partial F_{1}}{\partial x_{n}}, \dots, \dfrac{\partial F_{n}}{\partial x_{1}}, \dots, \dfrac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}$がある領域$R = \left\{ (t, x_{1},\dots, x_{n}) : \alpha \lt t \lt \beta, \alpha_{1} \lt x_{1} \lt \beta_{1}, \dots, \alpha_{n} \lt x_{n} \lt \beta_{n} \right\}$で連続だとしよう。点$\left( t_{0}, x_{1}^{0}, \dots, x_{n}^{0} \right)$が$R$の点だとしよう。

すると、ある区間$\left| t - t_{0} \right| \lt h$で初期値問題$(1), (2)$を満たす解$x_{1} = \phi_{1}(t), x_{2} = \phi_{2}(t), \dots, x_{n} = \phi_{n}(t)$が唯一に存在する。

説明

一階常微分方程式の初期値問題に対して解が唯一に存在するという内容を連立方程式に一般化したものである。