📂フーリエ解析

ハイゼンベルクの不確定性原理

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$f$とそのフーリエ変換 $\hat{f}$の間には特別な関係がある。ある定数$\Omega$に対して$\hat{f} (\omega) = 0\ for\ | \omega | \ge \Omega$が成立する場合、$f$も同じ性質を持つことは不可能である。つまり、$f$と$\hat{f}$が同時に狭い場所に集中することはできないということであり、数学的には$f$と$\hat{f}$が同時に狭い有限なサポートを持つことはできないということであり、統計学的には$f$と$\hat{f}$の分散が同時に小さいことはできないということである。

この事実は、次のようなフーリエ変換の性質から見ることができる。

$$\mathcal{F} \left[ f(\delta x) \right] (\xi) = \dfrac{1}{\delta} \hat{f} \left( \dfrac{\xi}{\delta} \right),\quad \delta > 0$$

上記の式で、$\delta$が大きくなるとは、$f$が原点に近づいて圧縮されるという意味であり、同時に$\hat{f}$は広がっていることがわかる。$\delta$が小さくなると、反対の現象が起こる。

定理を紹介する前に、新しい記法を一つ紹介しよう。関数$f$の$a$での拡散^dispersionを次のように定義しよう。

$$\Delta_{a} f: =\frac{\displaystyle \int(x-a)^{2}|f(x)|^{2} d x}{\displaystyle \int|f(x)|^{2} d x}$$

これは$f$の値が$a$の周りでどれだけ広がっているかを意味する。$\Delta _{a} f$の値が大きいとは、$a$の近くで$f$が大きな値をほとんど取らないということであり、逆に$\Delta _{a} f$の値が小さいとは、$a$の近くで$f$が大きな値をたくさん取るということである。したがって、$f$と$\hat{f}$が同時に狭い区間に集中することはできないというのは、すべての$a, \alpha \in \mathbb{R}$に対して$\Delta_{a}f$と$\Delta_{\alpha}\hat{f}$の値が同時に小さいことには限界があるということと同じである。

一言で言えば、$f$の値がはっきりするほど、$\hat{f}$の値が不確実になるという意味であり、逆もまた真である。統計学に慣れている人は、$\Delta_{a}f$を平均が$a$で確率密度関数が$|f(x)|^{2}$の確率変数の分散と理解すればよい。

上記の内容は、次の定理で表される。

定理

$f^{\prime}$が区分的に連続であり、$f(x), xf(x), f^{\prime}(x) \in L^{2}$が成り立つ場合、次の不等式が成立する。

$$\left( \Delta_{a} f \right) ( \Delta_{\alpha} \hat{f} ) \ge \dfrac{1}{4},\quad \forall a,\alpha \in \mathbb{R}$$

証明

$a=\alpha=0$

まず$a=\alpha=0$の場合について考えよう。部分積分により、次の式を得る。

$$\int_{A}^{B} \overline{xf(x)} f^{\prime}(x) dx = x|f(x)|^{2} \bigg|_{A} ^{B}-\int_{A}^{B}\left(|f(x)|^{2} + x f(x) \overline{f^{\prime}(x)}\right) dx$$

これを整理すると次のようになる。

$$\begin{align*} \int_{A}^{B} |f(x)|^{2} dx &= x|f(x)|^{2} \bigg|_{A} ^{B} - \int_{A}^{B} xf(x) \overline{f^{\prime}(x)}dx - \int_{A}^{B} \overline{xf(x)} f^{\prime}(x) dx \\ &= x|f(x)|^{2} \bigg|_{A} ^{B} - 2 \text{Re} \int_{A}^{B} xf(x) \overline{f^{\prime}(x)}dx \end{align*}$$

ここで$xf(x) \in L^{2}$と仮定したので$\lim \limits_{x \to \pm \infty}xf^{2}(x) \le \lim \limits_{x \to \pm \infty} x^{2}f^{2}(x) = 0$が成立する。したがって、上記の式で$B\to \infty, A \to -\infty$の極限を取ると次のようになる。

$$\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^{2} dx = - 2 \text{Re} \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) \overline{f^{\prime}(x)}dx$$

すると、コーシー-シュワルツの不等式により次の式が成立する。

$$\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^{2} dx &\le 2 \text{Re} \left( \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} |f(x)|^{2} dx \right)^{\frac{1}{2}} \left( \int_{-\infty}^{\infty} |f^{\prime}(x)|^{2} dx\right)^{\frac{1}{2}} \nonumber \\ \implies \left( \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^{2} dx \right)^{2} &\le 4 \left( \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} |f(x)|^{2} dx \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} |f^{\prime}(x)|^{2} dx\right) \label{eq1} \end{align}$$

そして、プランシュレルの定理により$\| \hat{f} \|^{2} = 2\pi \| f \| ^{2}$が真であり、導関数のフーリエ変換は$\mathcal{F} \left[ f^{\prime} \right] (\xi) = i \xi \mathcal{F} f (\xi)$であるので、次が成立する。

$$\int_{-\infty}^{\infty} |f^{\prime}(x)|^{2} dx = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |\mathcal{F}[f^{\prime}] (\xi)|^{2} d\xi = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \xi^{2} | \hat{f} (\xi)|^{2} d\xi$$

これを$\eqref{eq1}$に代入すると次のようになる。

$$\left( \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^{2} dx \right)^{2} \le 4 \left( \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} |f(x)|^{2} dx \right) \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \xi^{2} | \hat{f} (\xi)|^{2} d\xi$$

さらに、プランシュレルの定理を積分形で表すと$\int |f(x)|^{2}dx = \frac{1}{2\pi} \int |\hat{f}(\xi)|^{2} d\xi$であるので、この式の左辺に代入して次を得る。

$$\left( \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^{2} dx \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\xi)|^{2} d\xi \right) \le 4 \left( \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} |f(x)|^{2} dx \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \xi^{2} | \hat{f} (\xi)|^{2} d\xi \right)$$

したがって、次の結果を得る。

$$\dfrac{1}{4} \le \dfrac{ \left(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} |f(x)|^{2} dx \right) }{ \left(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^{2} dx \right) } \dfrac{\left(\displaystyle \int _{-\infty}^{\infty} \xi^{2} | \hat{f} (\xi)|^{2} d\xi \right)}{\left(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\xi)|^{2} d\xi \right)} = \left( \Delta_{0} f \right) ( \Delta_{0} \hat{f} )$$

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一般化

$F(x)=e^{-i \alpha x}f(x+a)$としよう。すると、次の式が成立する。

$$\begin{align*} \Delta_{0} F = \dfrac{\displaystyle \int x^{2} |F(x)|^{2} dx}{\displaystyle \int |F(x)|^{2}dx} &= \dfrac{ \displaystyle \int x^{2} |f(x+a)|^{2} dx }{ \displaystyle \int |f(x+a)|^{2}dx} \\ &= \dfrac{ \displaystyle \int (x-a)^{2} |f(x)|^{2} dx }{ \displaystyle \int |f(x)|^{2}dx} & (\text{change of variable } x +a=x) \\ &= \Delta_{a}f \end{align*}$$

今、$\hat{F}$を求めると次のようになる。

$$\begin{align*} \hat{F} (\xi) = \int F(x) e^{-i \xi x}dx &= \int f(x+a)e^{-i(\alpha + \xi)x}dx \\ &= \int f(x)e^{-i(\alpha + \xi)x} e^{i(\alpha + \xi)a} dx & (\text{change of variable } x +a=x) \\ &= e^{i(\alpha + \xi)a} \int f(x)e^{-i(\alpha + \xi)x} dx \\ &= e^{i(\alpha + \xi)a} \hat{f}(\alpha + \xi) \end{align*}$$

今、$\Delta_{0}\hat{F}$を求めると次のようになる。

$$\begin{align*} \Delta_{0}\hat{F} = \dfrac{\displaystyle \int \xi^{2} |\hat{F}(\xi)|^{2} d\xi}{\displaystyle \int |\hat{F}(\xi)|^{2}d\xi} &= \dfrac{\displaystyle \int \xi^{2} | \hat{f}(\alpha + \xi)|^{2} d\xi}{\displaystyle \int | \hat{f}(\alpha + \xi)|^{2}d\xi} \\ &= \dfrac{\displaystyle \int (\xi-\alpha)^{2} | \hat{f}(\xi)|^{2} d\xi}{\displaystyle \int | \hat{f}(\xi)|^{2}d\xi} & (\text{change of variable } \xi +a=\xi) \\ &= \Delta_{\alpha}\hat{f} \end{align*}$$

したがって、$a=\alpha=0$の場合の結果を使うと、次の式を得る。

$$\dfrac{1}{4} \le (\Delta_{0}F)(\Delta_{\alpha}\hat{F}) = (\Delta_{a}f) (\Delta_{\alpha}\hat{f})$$

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参照

• ハイゼンベルクの不確定性原理