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オイラー定数、自然定数eの定義 📂解析学

オイラー定数、自然定数eの定義

定義1

下の級数の極限を定数eeと定義する。

e:=∑n=0∞1n! e: = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!}

説明

その値がすぐに何であるかわからなくても、上記の級数が収束して何らかの極限が存在するという事実は容易に示せる。部分和sns_{n}は、有界で増加数列であるため収束する。

sn=1+1+12+12⋅3+12⋅3⋅4+⋯+11⋅2⋅⋯⋅n<1+1+12+12⋅2+12⋅2⋅2+⋯12⋅2⋅⋯⋅2⏟n−1=1+1+12+122+123+⋯12n−1<1+1+1<3 \begin{align*} s_{n} &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n} \\ &< 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2} + \cdots \dfrac{1}{\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 2}_{n-1}} \\ &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^{2}} + \dfrac{1}{2^{3}} + \cdots \dfrac{1}{2^{n-1}} \\ &< 1 + 1 + 1 < 3 \end{align*}

定理

lim⁡n→∞(1+1n)n=e \lim _{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} = e

または

lim⁡n→0(1+n)1n=e \lim _{n \to 0} \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{n}} = e

それを定義としても構わない。Wade教科書2では、このように定義されている。

証明

sn=∑k=0n1k!,tn=(1+1n)n s_{n} = \sum \limits _{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!},\quad t_{n}=\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n}

とする。

二項定理

(x+y)n=∑r=0nnCrxnyn−r (x+y)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {_n C _r} x^{n} y^{n-r}

すると、二項定理により以下が成立する。

tn=nC0⋅1+nC11n+nC21n2+nC31n3+⋯+nCn1nn=1+n1n+nC21n2+nC31n3+⋯+nCn1nn=1+1+12!n(n−1)1n2+13!n(n−1)(n−2)1n3+⋯+1n!n(n−1)⋯2⋅11nn=1+1+12!(1−1n)+13!(1−1n)(1−2n)+⋯+1n!(1−1n)(1−2n)⋯(1−n−1n) \begin{align*} t_{n} &= {_{n}C_{0}} \cdot 1 + {_{n}C_{1}} \dfrac{1}{n}+ {_{n}C_{2}}\dfrac{1}{n^{2}} + {_{n}C_{3}}\dfrac{1}{n^{3}} + \cdots + {_{n}C_{n}}\dfrac{1}{n^{n}} \\ &= 1 + n \dfrac{1}{n}+ {_{n}C_{2}}\dfrac{1}{n^{2}} + {_{n}C_{3}}\dfrac{1}{n^{3}} + \cdots + {_{n}C_{n}}\dfrac{1}{n^{n}} \\ &= 1 + 1+ \dfrac{1}{2!}n(n-1)\dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{1}{3!}n(n-1)(n-2)\dfrac{1}{n^{3}} + \cdots + \dfrac{1}{n!}n(n-1)\cdots 2 \cdot 1\dfrac{1}{n^{n}} \\ &= 1 + 1+ \dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{n-1}{n}\right) \end{align*}

したがって、∀n∈N,tn≤sn\forall n\in \mathbb{N}, t_{n} \le s_{n}であり、以下の式が成立する。

lim sup⁡n→∞tn≤lim sup⁡n→∞sn=lim⁡n→∞sn=e \begin{equation} \limsup \limits_{n \to \infty} t_{n} \le \limsup \limits_{n \to \infty} s_{n} = \lim \limits_{n \to \infty} s_{n} = e \label{eq1} \end{equation}

また、n≥mn \ge mであれば、以下が成立する。

tn≥1+1+12!(1−1n)+13!(1−1n)(1−2n)+⋯+1m!(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n) t_{n} \ge 1 + 1+ \dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{m!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{m-1}{n}\right)

ちなみに、右辺がtmt_{m}でなく、tnt_{n}の後ろのいくつかの項を省いたものである。ここで、固定されたmmに対してlim⁡inf⁡n to∞\lim \inf \limits_{n\ to \infty}を適用すると、以下の式を得る。

lim inf⁡n→∞tn≥1+1+12!+13!+⋯+1m! \liminf \limits_{n \to \infty} t_{n} \ge 1 + 1+ \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \cdots + \dfrac{1}{m!}

次に、両辺にm→∞m \to \inftyの極限を取ると、以下の通りである。

lim inf⁡n→∞tn≥e \begin{equation} \liminf \limits_{n \to \infty} t_{n} \ge e \label{eq2} \end{equation}

すると、(eq1),(eq2)\eqref{eq1}, \eqref{eq2}により、以下が成立する。

lim inf⁡n→∞tn=e=lim sup⁡n→∞tn  ⟹  lim⁡n→∞tn=e \liminf \limits_{n \to \infty} t_{n} = e = \limsup \limits_{n \to \infty} t_{n} \implies \lim \limits_{n\to \infty} t_{n} = e

参照

  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p63-64 ↩︎

  2. ウィリアム・R・ウェイド, 解析入門 (第4版, 2010), p 114-115 ↩︎