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エルミート演算子の期待値固有値は常に実数であることの証明 📂量子力学

エルミート演算子の期待値固有値は常に実数であることの証明

定理

エルミート演算子の期待値は常に実数だ。

証明

AAをエルミート演算子としよう。AAの期待値は

⟨A⟩=∫ψ∗Aψdx=⟨ψ∣Aψ⟩ \braket{A \rangle = \int \psi^{\ast}A\psi dx = \langle \psi | A\psi}

実数であることを示すためには、⟨ψ∣Aψ⟩−⟨ψ∣Aψ⟩∗=0\braket{\psi | A\psi}-\braket{\psi | A\psi}^{\ast}=0であることを示せば十分だ。

⟨ψ∣Aψ⟩∗=⟨Aψ∣ψ⟩=∫(Aψ)∗ψdx=∫ψ∗A∗ψdx=∫ψ∗Aψdx=⟨ψ∣Aψ⟩\begin{align*} \braket{\psi | A\psi}^{\ast} &= \braket{A\psi | \psi} \\ &= \int (A\psi)^{\ast}\psi dx \\ &= \int \psi^{\ast}A^{\ast}\psi dx \\ &= \int \psi^{\ast} A \psi dx \\ &= \braket{\psi | A \psi} \end{align*}

したがって、

⟨ψ∣Aψ⟩−⟨ψ∣Aψ⟩∗=⟨ψ∣Aψ⟩−⟨ψ∣Aψ⟩=0 \braket{\psi | A\psi}-\braket{\psi | A\psi}^{\ast}=\braket{\psi | A\psi}-\braket{\psi | A\psi}=0

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