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対数関数の微分법

公式

底が$e$の対数関数の導関数は次の通りだ。

$$\begin{equation} \dfrac{d \log x}{dx}=\dfrac{1}{x} \end{equation}$$

対数合成関数の導関数は次の通りだ。

$$\begin{equation} \dfrac{d \left( \log f(x) \right)}{dx} = \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \end{equation}$$

説明

特に$(2)$は便利に使われる置換トリックだ。

導出

$(1)$

対数関数の定義によって、次の式が成り立つ。

$$x = e^{\log x}$$

両辺を微分すると、指数関数の微分法と連鎖律により次のようになる。

$$\begin{align*} 1 &= \dfrac{ d \left( e^{\log x} \right) }{dx} \\ &= \dfrac{ d \left( e^{\log x} \right) }{d \log x} \dfrac{d \log x}{dx} \\ &= e^{\log x} \dfrac{d \log x}{dx} \\ &= x \dfrac{d \log x}{dx} \end{align*}$$

$$\implies \dfrac{d \log x}{dx} = \dfrac{1}{x}$$

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$(2)$

対数関数の定義によって、次の式が成り立つ。

$$f(x) = e^{\log f(x)}$$

残りの過程は上記と同じだ。

$$\begin{align*} f^{\prime} &= \dfrac{ d e^{\log f(x)}}{dx} \\ &= \dfrac{ d e^{\log f(x)}}{d \log f(x)} \dfrac{d \log f(x)}{dx} \\ &= e^{\log f(x)} \dfrac{d \log f(x)}{dx} \\ &= f(x) \dfrac{d \log f(x)}{dx} \end{align*}$$

$$\implies \dfrac{d \log f(x)}{dx} = \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$$

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