対数関数の微分법
公式
$$ \begin{equation} \dfrac{d \log x}{dx}=\dfrac{1}{x} \end{equation} $$
対数合成関数の導関数は次の通りだ。
$$ \begin{equation} \dfrac{d \left( \log f(x) \right)}{dx} = \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \end{equation} $$
説明
特に$(2)$は便利に使われる置換トリックだ。
導出
$(1)$
対数関数の定義によって、次の式が成り立つ。
$$ x = e^{\log x} $$
両辺を微分すると、指数関数の微分法と連鎖律により次のようになる。
$$ \begin{align*} 1 &= \dfrac{ d \left( e^{\log x} \right) }{dx} \\ &= \dfrac{ d \left( e^{\log x} \right) }{d \log x} \dfrac{d \log x}{dx} \\ &= e^{\log x} \dfrac{d \log x}{dx} \\ &= x \dfrac{d \log x}{dx} \end{align*} $$
$$ \implies \dfrac{d \log x}{dx} = \dfrac{1}{x} $$
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$(2)$
対数関数の定義によって、次の式が成り立つ。
$$ f(x) = e^{\log f(x)} $$
残りの過程は上記と同じだ。
$$ \begin{align*} f^{\prime} &= \dfrac{ d e^{\log f(x)}}{dx} \\ &= \dfrac{ d e^{\log f(x)}}{d \log f(x)} \dfrac{d \log f(x)}{dx} \\ &= e^{\log f(x)} \dfrac{d \log f(x)}{dx} \\ &= f(x) \dfrac{d \log f(x)}{dx} \end{align*} $$
$$ \implies \dfrac{d \log f(x)}{dx} = \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)} $$
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