📂線形代数

直交性と線形独立の関係

定義¹

内積空間 $V$の二つのベクトル $\mathbf{u}, \mathbf{v}$が $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0$を満たすならば、互いに直交^orthogonalすると言う。

$V$の要素から成る集合で、各要素が他の全ての要素と直交する場合、その集合を直交集合^{orthogonal set}という。

直交集合の全ての要素のノルムが $1$である場合は、正規直交集合^{orthonormal set}という。

定理

内積空間 $V$の部分集合 $S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \right\}$が零ベクトルを含まない直交集合である場合、$S$は線型独立である。

証明

$S$が線型独立であることを示すには、以下の式

$$k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n} \mathbf{v}_{n} = \mathbf{0}$$

の唯一の解が $k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{n}=0$であることを示せばよい。上記の式に各ベクトル $\mathbf{v}_{i}$を内積すると次のようになる。

$$\begin{align*} \\ 0 &= \langle \mathbf{0}, \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= \langle k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n} \mathbf{v}_{n}, \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= k_{1} \langle \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{i} \rangle + k_{2} \langle \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{i} \rangle + \cdots k_{i} \langle \mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \rangle +\cdots + k_{n} \langle \mathbf{v}_{n}, \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= k_{i} \langle \mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \rangle \end{align*}$$

しかし、$S$は零ベクトルを含まない直交集合であるため、$\langle \mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \rangle>0$が真である。したがって、

$$k_{i} = 0,\quad \forall 1\le i \le n$$

■