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フーリエ級数とベッセルの不等式 📂フーリエ解析

フーリエ級数とベッセルの不等式

式

区間[−L,L)[-L,L)で定義された関数ffがリーマン積分可能であれば、以下の不等式が成り立ち、これをベッセルの不等式と言う。

14∣a0∣2+12∑n=1∞(∣an∣2+∣bn∣2)=∑n=−∞∞∣cn∣2≤12L∫−LL∣f(t)∣2dt \dfrac{1}{4}|a_{0}|^{2} +\dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(|a_{n}|^{2} + |b_{n}|^{2} \right) =\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} | c_{n} |^{2} \le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} | f(t)|^{2} dt

ここで、a0, an, bna_{0},\ a_{n},\ b_{n}はffのフーリエ係数であり、cnc_{n}はffの複素フーリエ係数である。

証明

任意の複素数zzに対して、∣z∣2=zz‾|z|^{2}= z \overline{z} なので、

0≤∣f(t)−∑n=−NNcneinπtL∣2=(f(t)−∑n=−NNcneinπtL)(f(t)‾−∑n=−NNcn‾e−inπtL)=∣f(t)∣2−∑n=−NN(f(t)cn‾e−inπtL+f(t)‾cneinπtL)+∑m=−NN∑n=−NN∣cn∣2ei(m−n)πtL \begin{align*} 0 &\le \left| f(t)-\sum\limits_{n=-N}^{N}c_{n} e^{i\frac{n\pi t}{L}} \right|^{2} \\ &=\left(f(t)-\sum\limits_{n=-N}^{N}c_{n} e^{i\frac{n\pi t}{L}} \right) \left(\overline{f(t)}-\sum\limits_{n=-N}^{N} \overline{c_{n}} e^{-i\frac{n\pi t}{L}} \right) \\ &= |f(t)|^{2} - \sum \limits_{n=-N}^{N} \left( f(t) \overline{c_{n}} e^{-i\frac{n\pi t}{L}} + \overline{f(t)}c_{n} e^{i\frac{n\pi t}{L}} \right) + \sum \limits_{m=-N}^{N}\sum\limits_{n=-N}^{N} |c_{n}|^{2}e^{i\frac{(m-n)\pi t}{L}} \end{align*}

最初の行からわかる通り、この式は00以上であり、積分した値も00以上である。したがって、次の不等式が成り立つ。

0≤12L∫−LL∣f(t)∣2dt−∑n=−NN(cn‾12L∫−LLf(t)e−inπtLdt+cn12L∫−LLf(t)‾einπtLdt)+∑m=−NN∑n=−NN∣cn∣212L∫−LLei(m−n)πtLdt \begin{align*} 0& \le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} |f(t)|^{2} dt - \sum \limits_{n=-N}^{N} \left(\overline{c_{n}} \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) e^{-i\frac{n\pi t}{L}}dt + c_{n}\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \overline{f(t)} e^{i\frac{n\pi t}{L}}dt \right) \\ &\quad+ \sum \limits_{m=-N}^{N}\sum\limits_{n=-N}^{N} |c_{n}|^{2}\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}e^{i\frac{(m-n)\pi t}{L}}dt \end{align*}

複素フーリエ係数の定義を使って二番目の項を、指数関数の直交性を使って三番目の項を整理すると、次のようになる。

0≤12L∫−LL∣f(t)∣2dt−∑n=−NN(cˉn12L∫−LLf(t)e−inπtLdt+cn12L∫−LLfˉ(t)einπtLdt)+∑m=−NN∑n=−NN∣cn∣212L∫−LLei(m−n)πLtdt=12L∫−LL∣f(t)∣2dt−∑n=−NN(cˉncn+cncˉn)+∑m=−NN∑n=−NN∣cn∣2δmn=12L∫−LL∣f(t)∣2dt−∑n=−NN2∣cn∣2+∑n=−NN∣cn∣2=12L∫−LL∣f(t)∣2dt−∑n=−NN∣cn∣2 \begin{align*} 0 &\le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} |f(t)|^{2} dt - \sum \limits_{n=-N}^{N} \left(\bar c_{n} \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) e^{-i\frac{n\pi t}{L}}dt + c_{n}\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \bar f(t)e^{i\frac{n\pi t}{L}}dt \right) + \sum \limits_{m=-N}^{N}\sum\limits_{n=-N}^{N} |c_{n}|^{2}\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}e^{i\frac{(m-n)\pi}{L}t}dt \\ &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} |f(t)|^{2} dt - \sum \limits_{n=-N}^{N} \left(\bar c_{n} c_{n} + c_{n}\bar c_{n} \right) + \sum \limits_{m=-N}^{N}\sum\limits_{n=-N}^{N} |c_{n}|^{2}\delta_{mn} \\ &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} |f(t)|^{2} dt - \sum \limits_{n=-N}^{N}2 |c_{n}|^{2} + \sum \limits_{n=-N}^{N}|c_{n}|^{2} \\ &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} |f(t)|^{2} dt - \sum \limits_{n=-N}^{N} |c_{n}|^{2} \end{align*}

最後の式の二番目の項を移項してN→∞N \rightarrow \inftyの極限を取ると、以下のようになる。

∑n=−∞∞∣cn∣2≤12L∫−LL∣f(t)∣2dt \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} |c_{n}|^{2} \le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} |f(t)|^{2}dt

フーリエ係数と複素フーリエ係数の関係により、次の式を得る。

∣an∣2+∣bn∣2=anaˉn+bnbˉn=(cn+c−n)(cˉn+cˉ−n)+i(cn−c−n)(−i)(cˉn−cˉ−n)=2cncˉn+2c−ncˉ−n=2(∣cn∣2+∣c−n∣2) \begin{align*} |a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2} &= a_{n} \bar a_{n} + b_{n} \bar b_{n} \\ &= (c_{n}+c_{-n})(\bar c_{n} + \bar c_{-n})+ i (c_{n}-c_{-n})(-i)(\bar c_{n} - \bar c_{-n} ) \\ &= 2c_{n}\bar c_{n} + 2c_{-n}\bar c_{-n} \\ &= 2\left( |c_{n}|^{2} + |c_{-n}|^{2} \right) \end{align*}

  ⟹  12∑n=1∞(∣an∣2+∣bn∣2)=∑n=1∞(∣cn∣2+∣c−n∣2)=∑n=−∞n≠0∞∣cn∣2 \implies \dfrac{1}{2} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( |a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2} \right) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left ( |c_{n}|^{2} + |c_{-n}|^{2} \right) = \sum \limits_{n=-\infty \\ n\ne 0}^{\infty} | c_n |^{2}

そして∣c0∣2=14∣a0∣2|c_{0}|^{2} = \dfrac{1}{4}|a_{0}|^{2}であるため、

14∣a0∣2+12∑n=1∞(∣an∣2+∣bn∣2)=∑n=−∞∞∣cn∣2≤12L∫−LL∣f(t)∣2dt \dfrac{1}{4}|a_0|^{2} +\dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(|a_n|^{2} + |b_n|^{2} \right) =\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} | c_n |^{2} \le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} | f(t)|^{2} dt

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