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線形関数

定義

関数 $f : X \to Y$が以下の二つの条件を満たす場合、線形^linearという。$x,x_{1},x_{2}\in X$、$a \in \mathbb{R}$に対して、

1. $f(ax) = af(x)$
2. $f(x_{1} + x_{2}) = f(x_{1}) + f(x_{2})$

説明

線形でない場合、非線形^nonlinearという。二つの条件をまとめて次のように表すこともある

$$ f(ax_{1} + x_{2}) = af(x_{1}) + f(x_{2}) $$

2.で等式ではなく、以下である$\le$が成り立つ場合、準線形という。

双線形

二変数関数$f = f(x,y)$が各変数に対して線形である場合、双線形^bilinearという。

多重線形

多変数関数$f= f(x_{1}, \dots, x_{n})$が各変数に対して線形である場合、多重線形^multilinearという。