📂多変数ベクトル解析

偏微分_functions

定義¹

$E\subset \mathbb{R}^{n}$を開集合とし、$\mathbf{x}\in E$、そして$\mathbf{f} : E \to \mathbb{R}^{m}$と定義しよう。$\left\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}$と$\left\{ \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \dots, \mathbf{u}_{m} \right\}$をそれぞれ$\mathbb{R}^{n}$と$\mathbb{R}^{m}$の標準基底としよう。

それでは、$\mathbf{f}$の成分 $f_{i} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$は次のように定義される。

$$\mathbf{f} (\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{m} f_{i}(\mathbf{x})\mathbf{u}_{i}, \quad \mathbf{x} \in E$$

または

$$f_{i} (\mathbf{x}) := \mathbf{f} (\mathbf{x}) \cdot \mathbf{u}_{i},\quad i \in \left\{ 1,\dots, m \right\}$$

次の極限が存在するならば、$f_{i}$に対する$x_{j}$の偏微分とし、$D_{j}f_{i}$または$\dfrac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}$と記される。

$$\dfrac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} = D_{j}f_{i} := \lim _{t \to 0} \dfrac{f_{i}(\mathbf{x}+ t \mathbf{e}_{j}) -f_{i}(\mathbf{x})}{t}$$

説明

偏とは偏っていることを意味し、微分を全ての変数ではなく、一つの変数に対してだけ考えようという意味である。これは全微分と対比する言葉である。

偏$\check{}$関数ではなく、偏$\check{}$の微分関数である。

$\mathbf{f}$の全微分と偏微分の間には、以下の定理と同様の関係が成立する。

定理

$E, \mathbf{x}, \mathbf{f}$を定義で述べた通りとする。$\mathbf{f}$が$\mathbf{x}$で微分可能であるとする。それならば、各偏微分$D_{j}f_{i}(\mathbf{x})$が存在し、次の式が成立する。

$$\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})\mathbf{e}_{j} = \sum_{i=1}^{m} D_{j}f_{i}(\mathbf{x})\mathbf{u}_{i},\quad j \in \left\{ 1,\dots, n \right\}$$

系

$\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})$は、次のような行列で表される線形変換である。

$$\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} (D_{1}f_{1}) (\mathbf{x}) & (D_{2}f_{1}) (\mathbf{x}) & \cdots & (D_{n}f_{1}) (\mathbf{x}) \\ (D_{1}f_{2}) (\mathbf{x}) & (D_{2}f_{2}) (\mathbf{x}) & \cdots & (D_{n}f_{2}) (\mathbf{x}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (D_{1}f_{m}) (\mathbf{x}) & (D_{2}f_{m}) (\mathbf{x}) & \cdots & (D_{n}f_{m}) (\mathbf{x}) \end{bmatrix}$$

これを$\mathbf{f}$のヤコビ行列とも言う。

証明

$j$を固定しよう。$\mathbf{f}$が$\mathbf{x}$で微分可能であると仮定すると、次の式が成立する。

$$\mathbf{f}( \mathbf{x} + t \mathbf{e}_{j}) - \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})(t\mathbf{e}_{j}) + \mathbf{r}(t\mathbf{e}_{j})$$

ここで、$\mathbf{r}(t\mathbf{e}_{j})$は次を満たす剰余である。

$$\lim _{t \to 0} \dfrac{|\mathbf{r}(t\mathbf{e}_{j}) |}{t}=0$$

$\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})$は線形変換であるから、次が成立する。

$$\dfrac{\mathbf{f}( \mathbf{x} + t \mathbf{e}_{j}) - \mathbf{f}(\mathbf{x})}{t} = \dfrac{\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})(t\mathbf{e}_{j})}{t} + \dfrac{\mathbf{r}(t\mathbf{e}_{j})}{t} = \mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})(\mathbf{e}_{j}) + \dfrac{\mathbf{r}(t\mathbf{e}_{j})}{t}$$

両辺に$\lim _{t \to 0}$の極限を取ると、次のようになる。

$$\lim _{t \to 0} \dfrac{\mathbf{f}( \mathbf{x} + t \mathbf{e}_{j}) - \mathbf{f}(\mathbf{x})}{t} = \mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})\mathbf{e}_{j}$$

$\mathbf{f}$を成分で表示すると、次を得る。

$$\begin{align*} \mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})\mathbf{e}_{j} &= \lim _{t \to 0} \dfrac{\mathbf{f}( \mathbf{x} + t \mathbf{e}_{j}) - \mathbf{f}(\mathbf{x})}{t} \\ &= \lim _{t \to 0} \dfrac{\sum_{i=1}^{m} f_{i}( \mathbf{x} + t \mathbf{e}_{j})\mathbf{u}_{i} - \sum_{i=1}^{m} f_{i}(\mathbf{x})\mathbf{u}_{i}}{t} \\ &= \sum_{i=1}^{m} \lim _{t \to 0} \dfrac{f_{i}( \mathbf{x} + t \mathbf{e}_{j}) - f_{i}(\mathbf{x})}{t} \mathbf{u}_{i} \end{align*}$$

それならば、偏微分の定義により、次を得る。

$$\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})\mathbf{e}_{j} = \sum_{i=1}^{m} D_{j}f_{i}(\mathbf{x}) \mathbf{u}_{i}$$

■

例

$f : \R^{3} \to \R, \gamma : \R \to \R^{3}$が微分可能な関数だとしよう。また、

$$\gamma (t) = \left( x(t), y(t), z(t) \right)$$

そして$f$と$\gamma$の合成を$g = f \circ \gamma$としよう。

$$g(t) = f \circ \gamma (t) = f \left( \gamma (t) \right)$$

すると$g^{\prime}$は、連鎖律、偏微分の定義、上述の定理により、次のようになる。

$$\begin{align*} \dfrac{d g}{d t}(t_{0}) = g^{\prime}(t_{0}) =&\ f^{\prime}(\gamma (t_{0})) \gamma^{\prime}(t_{0}) \\ =&\ \begin{bmatrix} D_{1}f(\gamma (t_{0})) & D_{2}f(\gamma (t_{0})) & D_{3}f(\gamma (t_{0})) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} D\gamma_{1} (t_{0}) \\ D\gamma_{2} (t_{0}) \\ D\gamma_{3} (t_{0}) \end{bmatrix} \\ =&\ \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}(\gamma (t_{0})) & \dfrac{\partial f}{\partial y}(\gamma (t_{0})) & \dfrac{\partial f}{\partial z}(\gamma (t_{0})) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{d x}{d t}(t_{0}) \\ \dfrac{d y}{d t}(t_{0}) \\ \dfrac{d z}{d t}(t_{0}) \end{bmatrix} \\ =&\ \dfrac{\partial f}{\partial x}(\gamma (t_{0}))\dfrac{d x}{d t}(t_{0}) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(\gamma (t_{0}))\dfrac{d y}{d t}(t_{0}) + \dfrac{\partial f}{\partial z}(\gamma (t_{0}))\dfrac{d z}{d t}(t_{0}) \end{align*}$$

したがって、

$$\implies \dfrac{d g}{d t} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{d x}{d t} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{d y}{d t} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{d z}{d t}$$