📂幾何学

微分幾何学における曲面の面積

定義¹

$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$を曲面の座標片写像としよう。曲面上のある領域$\mathscr{R} \subset \mathbf{x}(U)$の面積^areaを次のように定義する。

$$\begin{align*} A(\mathscr{R}) &:= \int\int_{\mathbf{x}^{-1}(\mathscr{R})} [\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n}] du^{1}du^{2} \\ &= \int\int_{\mathbf{x}^{-1}(\mathscr{R})} \sqrt{g} du^{1}du^{2} \end{align*}$$

この時、$(u^{1}, u^{2})$は$U$の座標、$\mathbf{x}_{i} = \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{i}}$は$i$番目の座標に対する偏微分、$[\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n}]$はスカラー三積、$g$は第一基本形式の係数行列の行列式だ。

解説

この時、$\sqrt{g} du^{1}du^{2}$を面積要素^{area element}と呼び、$dA$と表記する。ガウス曲率$K$のように曲面上で定義された関数に対して、次のような表記法を使うこともある。

$$\iint_{\mathscr{R}} K dA := \iint_{\mathbf{x}^{-1}(\mathscr{R})} K(u^{1}, u^{2}) \sqrt{g} du^{1} du^{2}$$