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行列変換 📂行列代数

行列変換

定義

Rn\mathbb{R}^{n}からRm\mathbb{R}^{m}への関数がm×nm \times n 行列 AAに関して下記のようにマッピングされる時、これを行列変換matrix transformationと呼び、TA:Rn→RmT_{A} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}のように表記する。

w=TA(x)=Ax(x∈Rn,w∈Rm) \mathbf{w} = T_{A} (\mathbf{x}) = A\mathbf{x}\quad \left( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{m} \right)

x→TAw\mathbf{x} \overset{T_{A}}{\to} \mathbf{w}として示すこともある。

このマッピングを行列の表現で示すと、次のようになる。

[w1w2⋮wm]=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn][x1x2⋮xn] \begin{bmatrix} w_{1} \\ w_{2} \\ \vdots \\ w_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}

線形システムの形で示すと、次のようになる。

w1=a11x1+a12x2+⋯+a1nxnw2=a21x1+a22x2+⋯+a2nxn⋮wm=am1x1+am2x2+⋯+amnxn \begin{align*} w_{1} &= a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} \\ w_{2} &= a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} \\ &\vdots \\ w_{m} &= a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} \end{align*}

説明

行列変換は線形変換の一種である。