ベクトル空間の次元
定義1
ベクトル空間 $V$ の 基底 の要素（ベクトルの数）を $V$ の 次元dimension と定義し、以下のように表記する。
$$ \dim (V) $$
説明
このような次元の一般化は、単にベクトル空間に対する探求を超えて、この社会を支える様々な技術に応用されている。世界が $3$ 次元で、描けもしない $4$ 次元が何の役に立つのかと思うかもしれないが、ユークリッド空間だけがベクトル空間ではないからである。例えば、統計学で使われる データセットを考えると、それをベクトルとして見ることができる。例えば、「アダム」という人が身長が175、体重が62、年齢が22、IQが103、視力が1.2であるとすると、「アダム=(175,62,22,103,1.2)」と表せるのである。こんな単純なデータでさえ、既に $5$ 次元を使用しており、些細な制限があると役に立たなくなる。
一方で、ベクトル空間の基底が一意ではないことを考慮すると、上記の定義が妥当な定義であるためには、すべての基底が同じ数の要素を持つ必要があるという条件が必要である。以下の二つの定理から、有限次元ベクトル空間のすべての基底が同じ数のベクトルを持たなければならないことがわかる。
定理
$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots \mathbf{v}_{n} \right\}$ をベクトル空間 $V$ の任意の基底とする。
(a) 基底よりもベクトルの数が多い $V$ の部分集合は 線形従属である。
(b) 基底よりもベクトルの数が少ない $V$ の部分集合は、$V$ を 生成できない。
証明2
(a)
$W=\left\{ \mathbf{w}_{1},\ \mathbf{w}_{2},\ \cdots ,\ \mathbf{w}_{m} \right\} \subset V$ とすると、$m > n$ である。$S$ が $V$ の基底であるので、$W$ の要素は $S$ のベクトルの 線形結合 で表すことができる。
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{w}_{1} &= a_{11}\mathbf{v}_{1}+a_{21}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{n1}\mathbf{v}_{n}=\sum \limits _{i}^{n} a_{i1}\mathbf{v}_{i} \\ \mathbf{w}_{2} &= a_{12}\mathbf{v}_{1}+a_{22}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{n2}\mathbf{v}_{n}=\sum \limits _{i}^{n} a_{i2}\mathbf{v}_{i} \\ & \vdots \\ \mathbf{w}_{m} &= a_{1m}\mathbf{v}_{1}+a_{2m}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{nm}\mathbf{v}_{n}=\sum \limits _{i}^{n} a_{im}\mathbf{v}_{i} \end{aligned} \label{wlincom1} \end{equation} $$
$W$ が線形従属であることを示すために、
$$ \begin{equation} k_{1}\mathbf{w}_{1} + k_2\mathbf{w}_{2} + \cdots + k_{m}\mathbf{w}_{m}= \mathbf{0} \label{wlincom2} \end{equation} $$
$(k_{1},k_{2},\dots,k_{m}) \ne (0,0,\dots,0)$ が存在することを示せばよい。$(1)$ を $(2)$ に代入すると、次のようになる。
$$ \begin{align*} &k_{1}(a_{11}\mathbf{v}_{1} + a_{21}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{n1}\mathbf{v}_{n}) \\ + &k_2(a_{12}\mathbf{v}_{1} + a_{22}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{n2}\mathbf{v}_{n}) \\ + &\cdots \\ + &k_{m}(a_{1m}\mathbf{v}_{1} + a_{2m}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{nm}\mathbf{v}_{n}) = \mathbf{0} \end{align*} $$
これを $\mathbf{v}_{i}$ に対して整理すると、次のようになる。
$$ \left( \sum \limits _{j} ^{m} k_{j}a_{1j} \right)\mathbf{v}_{1} + \left( \sum \limits _{j} ^{m} k_{j}a_{2j} \right)\mathbf{v}_{2} + \cdots + \left( \sum \limits _{j} ^{m} k_{j}a_{nj} \right)\mathbf{v}_{n} = \mathbf{0} $$
この時、$S$ が $V$ の基底であり、線形独立であるため、上記の方程式を満たす解は、係数がすべて $0$ の場合のみである。したがって、次の方程式が成り立つ。
$$ \begin{align*} a_{11}k_{1} + a_{12}k_{2} + \cdots + a_{1m}k_{m} = 0 \\ a_{21}k_{1} + a_{22}k_{2} + \cdots + a_{2m}k_{m} = 0 \\ \vdots \\ a_{n1}k_{1} + a_{n2}k_{2} + \cdots + a_{nm}k_{m} = 0 \end{align*} $$
連立方程式を見ると、方程式の数は $n$ 個、未知数 $k$ の数は $m$ 個である。方程式の数よりも未知数の数が多いため、この連立方程式は無数の非自明な解を持つ。したがって、$(2)$ を満たすすべてが $0$ ではない $k_{1},\dots,k_{m}$ が存在する。したがって、$W$ は線形従属である。また、この証明は基底よりも要素の数が多い任意の集合にも適用される。
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(b)
背理法で証明する。
$W=\left\{ \mathbf{w}_{1},\ \mathbf{w}_{2},\ \cdots ,\ \mathbf{w}_{m} \right\} \subset V$ とすると、$m < n$ である。そして、$W$ が $V$ を生成すると仮定してみる。すると、$V$ のすべてのベクトルを $W$ の線形結合で表すことができる。
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{v}_{1} &= a_{11}\mathbf{w}_{1}+a_{21}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{m1}\mathbf{w}_{m} \\ \mathbf{v}_{2} &= a_{12}\mathbf{w}_{1}+a_{22}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{m2}\mathbf{w}_{m} \\ & \vdots \\ \mathbf{v}_{n} &= a_{1n}\mathbf{w}_{1}+a_{2n}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{mn}\mathbf{w}_{m} \end{aligned} \label{vlincom1} \end{equation} $$
すると、$\left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots \mathbf{v}_{n} \right\}$ が線形従属であるという矛盾が生じる。次の同次方程式を見てみよう。
$$ k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_2\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n}= \mathbf{0} $$
ここに $(1)$ を代入すると、次のようになる。
$$ \begin{align*} &k_{1}(a_{11}\mathbf{w}_{1} + a_{21}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{m1}\mathbf{w}_{m}) \\ + &k_2(a_{12}\mathbf{w}_{1} + a_{22}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{m2}\mathbf{w}_{m}) \\ + &\cdots \\ + &k_{n}(a_{1n}\mathbf{w}_{1} + a_{2n}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{mn}\mathbf{w}_{m}) = \mathbf{0} \end{align*} $$
これを $\mathbf{w}_{i}$ に対して整理すると、次のようになる。
$$ \left( \sum \limits _{j} ^{n} k_{j}a_{1j} \right)\mathbf{w}_{1} + \left( \sum \limits _{j} ^{n} k_{j}a_{2j} \right)\mathbf{w}_{2} + \cdots + \left( \sum \limits _{j} ^{n} k_{j}a_{mj} \right)\mathbf{w}_{m} = \mathbf{0} $$
すると、未知数 $k$ に関する次の同次線形システムが得られる。
$$ \begin{align*} a_{11}k_{1} + a_{12}k_{2} + \cdots + a_{1n}k_{n} = 0 \\ a_{21}k_{1} + a_{22}k_{2} + \cdots + a_{2n}k_{n} = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}k_{1} + a_{m2}k_{2} + \cdots + a_{mn}k_{n} = 0 \end{align*} $$
未知数の数が $n$ で、方程式の数が $m$ であり、$m < n$ であるので、この線形システムは無数の非自明な解を持つ。したがって、$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots \mathbf{v}_{n} \right\}$ が線形従属であるという結果が得られ、これは $S$ が線形独立であるという事実と矛盾する。したがって、仮定は間違っていることがわかる。よって、$W$ は $V$ を生成することができない。
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